DERIVATE !

[sesse94]

qualcuno molto gentilmente potrebbe per favore trovarmi le derivate di queste funzioni scrivendomi tutti i passaggi?? perchè c'è qualcosa che non mi torna e non riesco a capire perchè non vengono :D

y= (radice di x ) + (2/ radice di x) + 4

y= (radice di x+1/x-1)

[Ali Q]

Soluzione:

1)

[math]y= \sqrt[2]{x} + 2/\sqrt[2]{x} + 4[/math]

- scrivere

[math]\sqrt[2]{x}[/math]

è come scrivere

[math]x^{\frac{1}{2}}[/math]

In generale la derivata di

[math]x^n[/math]

è pari a

[math]n*x^{n-1}[/math]

.
Perciò, in questo particolare caso, essendo

[math]n=\frac{1}{2}[/math]

posso scrivere che la derivata di

[math]\sqrt[2]{x}[/math]

è pari a

[math]\frac{1}{2}*x^{1/2-1}[/math]

, cioè

[math]\frac{1}{2}*x^{-1/2}[/math]

=

[math]\frac{1}{2}* 1/[\sqrt[2]{x}][/math]

-

[math]2/\sqrt[2]{x}[/math]

è invece una frazione. la derivata di una frazione (o più in generale di un quoziente) è pari alla derivata del dividendo per il divisore meno la derivata del divisore per il dividendo, il tutto diviso poi per il quadrato del divisore.
In pratica:

[math][f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) -g'(x)f(x)]/[g(x)^2].[/math]

La derivata del dividendo rispetto ad x, essendo esso pari ad una costante (cioè 2) sarà in questo caso nulla. Quindi la derivata di

[math]2/\sqrt[2]{x}[/math]

si riduce a meno la derivata del divisore per il dividendo fratto il quadrato del divisore.
Quindi al numeratore abbiamo

[math] -2*g'(x)=[/math]

[math]-2*[\frac{1}{2}*x^{-1/2}]= -x^{-1/2}= -1/[\sqrt[2]{x}][/math]

[/math]
Al denominatore, invece:

[math]g(x)^2[/math]

=

[math]\sqrt[2]{x}^2 = x[/math]

Mettendo insieme numeratore e denominatore:

[math]- 1/[\sqrt[2]{x}*x][/math]

-la derivata di 4 rispetto ad x è invece pari a 0 perchè 4 è una costante.

CONCLUSIONE:

[math]y'(x)[/math]

=

[math]\frac{1}{2}* 1/[\sqrt[2]{x}][/math]

[math]- 1/[\sqrt[2]{x}*x][/math]

Volendo sommare il tutto insieme viene fuori che:

[math]y'(x)[/math]

=

[math]\frac{1}{2}*\frac{1}{[\sqrt[2]{x}]}[/math]

[math]-\frac{1}{[\sqrt[2]{x}*x]}[/math]

=

[math]\frac{x-2}{[\sqrt[2]{x}*x*2]}[/math]

2)

[math]y= \sqrt[2]{\frac{x+1}{x-1}}[/math]

- Cominciamo dall'esterno: la derivata di

[math]\sqrt[2]{f(x)}[/math]

è pari a

[math][1/2* f(x)^{-1/2}]*f'(x)[/math]

Quindi scrivo subito:

[math][1/2* [(x+1)/(x-1)]^{-1/2}]*f'(x)[/math]

=

[math]1/2* [(x+1)^{-1/2}/(x-1)^{-1/2}]*f'(x)[/math]

=

[math]1/2* [\sqrt[2]{x-1}/\sqrt[2]{x+1}] *f'(x)[/math]

-f '(x) è invece, come nella derivata precedente, la derivata di un quoziente. La sviluppo come spiegato nell'esercizio numero 1.

[math]f'(x) = 1*(x-1) - 1*(x+1)/(x-1)^2 [/math]

Cioè

[math][x-1-x-1]/(x-1)^2 [/math]

=

[math]-2/(x-1)^2[/math]

Quindi: y'(x) =

[math]1/2* [\sqrt[2]{x-1}/\sqrt[2]{x+1}] *[-2/(x-1)^2][/math]

=

[math]-1* [\sqrt[2]{x-1}/\sqrt[2]{x+1}] *[1/(x-1)^2] = -1/ [\sqrt[2]{(x-1)(x+1)}] = -1/ [\sqrt[2]{(x^2-1)}] [/math]

Fine, questo è quanto. Speri di non aver fatto errori. Ciao!