Derivate!!!!!!!!!
A proposito di derivate, come si risolve questo tipo di esercizio??
Determinare a,b,c,d, in modo che la curva y uguale ax^2+b tutto fratto cx + d abbia un asintoto parallelo alla retta Y uguale 2x + 2 e abbia nel punto A(0;1)la tangente inclinata di pigreco/4 sull'asse x.
Vi prego aiutatemi!!
Vi ringrazio anticipatamente!!!
Determinare a,b,c,d, in modo che la curva y uguale ax^2+b tutto fratto cx + d abbia un asintoto parallelo alla retta Y uguale 2x + 2 e abbia nel punto A(0;1)la tangente inclinata di pigreco/4 sull'asse x.
Vi prego aiutatemi!!
Vi ringrazio anticipatamente!!!
Risposte
Se la curva passa per il punto A( 0,1)allora sostituendo x con 0 e y con 1 otterrai una relazione tra le incognite : a,b,c,d .
Poi la curva ha un asintoto obliquo di equazione : y = 2x +2
( coefficiente angolare della retta = 2) e allora il limite per x che tende a 00 di f(x)/x = 2 e ottieni un'altra relazione sempre tra i coefficienti incogniti.
Poi sarà anche : lim per x che tende a 00 di f(x)-2x = 2 ; quindi altra relazione.
Ultimo : la tangente alla curva nel punto A ( 0,1) forma un angolo di pi/4 .
E' come dire che la derivata della funzione , per x=0 vale
tan (pi/4) = 1 ; ultima relazione tra coefficienti.
4 relazioni, 4 coefficienti incogniti , dovresti essere a posto.
Camillo
Poi la curva ha un asintoto obliquo di equazione : y = 2x +2
( coefficiente angolare della retta = 2) e allora il limite per x che tende a 00 di f(x)/x = 2 e ottieni un'altra relazione sempre tra i coefficienti incogniti.
Poi sarà anche : lim per x che tende a 00 di f(x)-2x = 2 ; quindi altra relazione.
Ultimo : la tangente alla curva nel punto A ( 0,1) forma un angolo di pi/4 .
E' come dire che la derivata della funzione , per x=0 vale
tan (pi/4) = 1 ; ultima relazione tra coefficienti.
4 relazioni, 4 coefficienti incogniti , dovresti essere a posto.
Camillo
Grazie di avermi risposto. Però ti seguo fino ad un certo punto. Dopo che hai eguagliato la funzione fratto x al coefficiente angolare non ho capito cosa hai fatto. Potresti ridirmelo? Grazie.
Una retta generica ha equazione y = mx + q
In questo caso, la nostra retta è l'asintoto obliquo della funzione,
e questo asintoto ha equazione y = 2x + 2; in tal
caso abbiamo dunque: m = 2 e q = 2
Il coefficiente angolare dell'asintoto obliquo di una
funzione si ottiene calcolando il limite del rapporto
f(x)/x per x->inf. Il rapporto f(x)/x è uguale a (ax^2 + b)/(cx^2 + dx)
e il suo limite per x->inf è: a/c
Una prima relazione da usare per risolvere il problema è dunque: a/c = 2
Sappiamo anche che q si ottiene calcolando il limite di f(x) - mx per x->inf,
dunque in questo caso dobbiamo calcolare il limite
di f(x) - (a/c)*x ; tale limite vale: (-a*d)/c^2 .
La seconda relazione da usare è quindi: (-a*d)/c^2 = 2
Sappiamo che il grafico della funzione passa per A(0 ; 1) ,
allora sostituiamo le coordinate del punto al posto di x e di y
nell'equazione della funzione e otteniamo: b/d = 1 (terza relazione)
La retta tangente alla curva nel punto A ha inoltre coefficiente
angolare 1, e questa è la condizione che dobbiamo usare per trovare
la quarta e ultima relazione. Ti calcoli la derivata che in x = 0
vale: (-b*c)/d^2 ; questo è il valore del coefficiente angolare della
tangente in A; si vuole che tale valore sia 1 e quindi abbiamo
così la quarta relazione: (-b*c)/d^2 = 1
Risolvi il sistema formato dalle quattro equazioni in grassetto
e trovi in tal modo tutti i coefficienti.
In questo caso, la nostra retta è l'asintoto obliquo della funzione,
e questo asintoto ha equazione y = 2x + 2; in tal
caso abbiamo dunque: m = 2 e q = 2
Il coefficiente angolare dell'asintoto obliquo di una
funzione si ottiene calcolando il limite del rapporto
f(x)/x per x->inf. Il rapporto f(x)/x è uguale a (ax^2 + b)/(cx^2 + dx)
e il suo limite per x->inf è: a/c
Una prima relazione da usare per risolvere il problema è dunque: a/c = 2
Sappiamo anche che q si ottiene calcolando il limite di f(x) - mx per x->inf,
dunque in questo caso dobbiamo calcolare il limite
di f(x) - (a/c)*x ; tale limite vale: (-a*d)/c^2 .
La seconda relazione da usare è quindi: (-a*d)/c^2 = 2
Sappiamo che il grafico della funzione passa per A(0 ; 1) ,
allora sostituiamo le coordinate del punto al posto di x e di y
nell'equazione della funzione e otteniamo: b/d = 1 (terza relazione)
La retta tangente alla curva nel punto A ha inoltre coefficiente
angolare 1, e questa è la condizione che dobbiamo usare per trovare
la quarta e ultima relazione. Ti calcoli la derivata che in x = 0
vale: (-b*c)/d^2 ; questo è il valore del coefficiente angolare della
tangente in A; si vuole che tale valore sia 1 e quindi abbiamo
così la quarta relazione: (-b*c)/d^2 = 1
Risolvi il sistema formato dalle quattro equazioni in grassetto
e trovi in tal modo tutti i coefficienti.
Grazie di avermi risposto. Però nel secondo passaggio a me non viene il tuo stesso risultato: quando f(x)- a/c*x è uguale a -ad/c^2
Non so sicuramente sbaglio qualcosa... ma non mi viene. Grazie comunque!
Non so sicuramente sbaglio qualcosa... ma non mi viene. Grazie comunque!
Ciao a tutti!!! Qualcuno sa come si risolvono i problemi di massimo e minimo? Siccome la prof. non l'ha spiegato potreste farmi vedere come si fa questo?
Tra tutti i rettangoli inscritti in una circonferenza trovare quello di area massima.
Grazie anticipatamente!!
Tra tutti i rettangoli inscritti in una circonferenza trovare quello di area massima.
Grazie anticipatamente!!
mm..non è difficile...cmq in generale per risolvere questi problemi devi ricavarti ciò che viene richiesto dal problema (in questo caso l'area del rettangolo) in funzione di una quualche incognita x, che può essere un angolo o una coordinata di un vertice...questo lo vedi tu...come sei più comoda! a questo punto l'area del rettangolo è una f(x) di cui dovrai trovare i punti di massimo! tutto qui..
nel tuo caso...
sia ABCD il tuo rettangolo inscritto e O il centro della circonferenza. sia R il raggio del cerchio e x l'angolo AOH dove H è il piede della perpendicolare da O a AB (quindi H è il punto medio di AB). bene...ora AB=2Rsinx e BC=2Rcos(x). quindi l'area del rettangolo è AB*BC=4R^2sin(x)cos(x).
vedi facilmente che se x=pi/2 o x=0, il rettangolo è degenere e la sua area è 0...cmq..a parte questo
per trovare il punto di max studi la derivata della funznione area. poichè è derivabile per ogni x del dominio (0=0 e studiare quindi la crescenza di f(x).
f'(x)=4R^2[cos^2(x)-sin^2(x)]>=0
dividi per la costante positiva 4R^2
cos^2(x)-sin^2(x)>=0
1-sin^2(x)-sin^2(x)>=0
1-2sin^2(x)>=0
sin^2(x)<=1/2
-sqrt(2)/2<=sin(x)<=sqrt(2)/2
poichè poi 0
0
quindi 0
cioè 0<=x<=pi/4. in questo intervallo quindi la funzione area ha derivata non negativa, è quindi non decrescente. da pi/4 a pi/2 ha derivata negativa, è quindi decrescente. questo fa sì che in pi/4 tu abbia un punto estremante di massimo!
quindo per x=pi/4 hai area massima...cioè vale a dire, quando il rettangolo è in realtà un quadrato.
se non è chiaro qualcosa dì pure
ciao
il vecchio
nel tuo caso...
sia ABCD il tuo rettangolo inscritto e O il centro della circonferenza. sia R il raggio del cerchio e x l'angolo AOH dove H è il piede della perpendicolare da O a AB (quindi H è il punto medio di AB). bene...ora AB=2Rsinx e BC=2Rcos(x). quindi l'area del rettangolo è AB*BC=4R^2sin(x)cos(x).
vedi facilmente che se x=pi/2 o x=0, il rettangolo è degenere e la sua area è 0...cmq..a parte questo
per trovare il punto di max studi la derivata della funznione area. poichè è derivabile per ogni x del dominio (0
f'(x)=4R^2[cos^2(x)-sin^2(x)]>=0
dividi per la costante positiva 4R^2
cos^2(x)-sin^2(x)>=0
1-sin^2(x)-sin^2(x)>=0
1-2sin^2(x)>=0
sin^2(x)<=1/2
-sqrt(2)/2<=sin(x)<=sqrt(2)/2
poichè poi 0
0
quindi 0
cioè 0<=x<=pi/4. in questo intervallo quindi la funzione area ha derivata non negativa, è quindi non decrescente. da pi/4 a pi/2 ha derivata negativa, è quindi decrescente. questo fa sì che in pi/4 tu abbia un punto estremante di massimo!
quindo per x=pi/4 hai area massima...cioè vale a dire, quando il rettangolo è in realtà un quadrato.
se non è chiaro qualcosa dì pure
ciao
il vecchio
Grazie vecchio, scusa se rispondo solo ora. In realtà il procedimento è molto chiaro ma sono alle prese con un altro problema e non so da dove cominciare...
Determinare a in modo che sia minima la distanza dei vertici delle due parabole: y= x^2 -ax +a -2 y= -X^2 + (a-1)x +3
Grazie anticipatamente!!!!!
Determinare a in modo che sia minima la distanza dei vertici delle due parabole: y= x^2 -ax +a -2 y= -X^2 + (a-1)x +3
Grazie anticipatamente!!!!!
Il problema è abbastanza semplice: basta ricavare in funzione
di a le coordinate dei vertici (fino a qui è un problema
da terza, se non seconda liceo). Poi bisogna calcolare la distanza
tra i due vertici, usando la formula della distanza tra due punti
(anche questa è roba del terzo anno di liceo). Ora, questa distanza
varia al variare di a ed è quindi una funzione di a. Non devi fare
altro che trovare l'ascissa del punto di minimo di questa funzione
e il problema è concluso. Solo questa è la parte del problema
che richiede l'applicazione delle derivate. Derivi la distanza
tra i due vertici (cioè la funzione di a), la poni uguale a
zero e trovi gli eventuali punti estremanti. Per capire
se quel determinato punto è un punto di massimo o un
punto di minimo, devi studiare il segno della derivata
prima in modo tale da conoscere gli intervalli
di crescenza/decrescenza della funzione.
Se non ti è chiaro qualcosa, dì pure.
di a le coordinate dei vertici (fino a qui è un problema
da terza, se non seconda liceo). Poi bisogna calcolare la distanza
tra i due vertici, usando la formula della distanza tra due punti
(anche questa è roba del terzo anno di liceo). Ora, questa distanza
varia al variare di a ed è quindi una funzione di a. Non devi fare
altro che trovare l'ascissa del punto di minimo di questa funzione
e il problema è concluso. Solo questa è la parte del problema
che richiede l'applicazione delle derivate. Derivi la distanza
tra i due vertici (cioè la funzione di a), la poni uguale a
zero e trovi gli eventuali punti estremanti. Per capire
se quel determinato punto è un punto di massimo o un
punto di minimo, devi studiare il segno della derivata
prima in modo tale da conoscere gli intervalli
di crescenza/decrescenza della funzione.
Se non ti è chiaro qualcosa, dì pure.
E' tutto chiaro grazie mille!
Ciao a tutti ancora una volta ho un problema che non riesco a risolvere (non mi è chiaro neanche il disegno).
Date le curve di equazione x= ay^2 e y= ax^2, detti O e A i punti comuni, determinare sugli archi che delimitano la parte racchiusa dalle due curve due punti M e N di uguale ascissa in modo che il quadrilatero OMAN abbia area massima.
Grazie anticipatamente a chi mi aiuterà!!!!!
Date le curve di equazione x= ay^2 e y= ax^2, detti O e A i punti comuni, determinare sugli archi che delimitano la parte racchiusa dalle due curve due punti M e N di uguale ascissa in modo che il quadrilatero OMAN abbia area massima.
Grazie anticipatamente a chi mi aiuterà!!!!!
L'unica parte del problema che richiede la conoscenza
delle derivate è la massimizzazione dell'area: per
il resto, è un problema da terza liceo.
Si tratta di ricavare l'area di OMAN in funzione
dell'ascissa dei due punti (i due punti hanno
la stessa ascissa). Chiama c l'ascissa dei due punti
e ricava l'area di OMAN in funzione di c.
Otterrai così una funzione di c; solo a questo punto
scatta il calcolo della derivata prima, che ti permette
di trovare il valore di c per il quale l'area è massima.
delle derivate è la massimizzazione dell'area: per
il resto, è un problema da terza liceo.
Si tratta di ricavare l'area di OMAN in funzione
dell'ascissa dei due punti (i due punti hanno
la stessa ascissa). Chiama c l'ascissa dei due punti
e ricava l'area di OMAN in funzione di c.
Otterrai così una funzione di c; solo a questo punto
scatta il calcolo della derivata prima, che ti permette
di trovare il valore di c per il quale l'area è massima.
Ciao a tutti! C'è qualcuno che sa risolvere questo problema?
Siano y' e y'' due semicirconferenze rispettivamente di diametri AB= 2r e BC= 2r poste nello stesso semipiano determinato dalla retta AC.
Una retta per A incontra y' ulteriormente in E e y'' in F e G. Posto l'angolo eab=x tracciare il grafico della funzione: f(x)= FG^2/AE^2 indicando l'arco che si riferisce al problema.
AE si trova subito ma FG non riesco a ricavarlo!
Grazie a chi mi aiuterà!
Siano y' e y'' due semicirconferenze rispettivamente di diametri AB= 2r e BC= 2r poste nello stesso semipiano determinato dalla retta AC.
Una retta per A incontra y' ulteriormente in E e y'' in F e G. Posto l'angolo eab=x tracciare il grafico della funzione: f(x)= FG^2/AE^2 indicando l'arco che si riferisce al problema.
AE si trova subito ma FG non riesco a ricavarlo!
Grazie a chi mi aiuterà!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo