Derivate (256780)
scusate sto studiando le derivate e mi sto proprio scervellando, devo fare la derivata di x^2 -1 e il libro mi dice che è 2x. ????? che calcolo ha fatto per ottenere 2x?
Risposte
Ciao,
in allegato lo svolgimento e la spiegazione.
spero di esserti stato di aiuto.
se hai dubbi,chiedi pure.
saluti :-)
in allegato lo svolgimento e la spiegazione.
spero di esserti stato di aiuto.
se hai dubbi,chiedi pure.
saluti :-)
Se intendi (x^2)-1 il libro segue semplicemente la regola di derivazione.
Per fare la derivata di una potenza di x bisogna diminuire di 1 l'esponente e moltiplicare tutto per il valore iniziale dell'esponente di x.
Mi spiego meglio:
f(x)= x^3
f'(x) = 3x^2
questo perché moltiplico per l'esponente iniziale (3) e diminuisco l'esponente della x di 1 (3-1=2). La derivata di un qualsiasi numero inoltre è 0, quindi il -1 nella derivata non va considerato.
Altri esempi:
f(x)=3x^4
f'(x)=3*4x^3=12x^3 (moltiplico per l'esponente iniziale e diminuisco lo stesso di 1 nella x della derivata)
f(x)=(4x^2)+5
f'(x)=4*2x^1=8x (stesso discorso di prima ma ignoro il +5 in quanto la sua derivata è 0).
Se hai altri dubbi chiedi pure
Per fare la derivata di una potenza di x bisogna diminuire di 1 l'esponente e moltiplicare tutto per il valore iniziale dell'esponente di x.
Mi spiego meglio:
f(x)= x^3
f'(x) = 3x^2
questo perché moltiplico per l'esponente iniziale (3) e diminuisco l'esponente della x di 1 (3-1=2). La derivata di un qualsiasi numero inoltre è 0, quindi il -1 nella derivata non va considerato.
Altri esempi:
f(x)=3x^4
f'(x)=3*4x^3=12x^3 (moltiplico per l'esponente iniziale e diminuisco lo stesso di 1 nella x della derivata)
f(x)=(4x^2)+5
f'(x)=4*2x^1=8x (stesso discorso di prima ma ignoro il +5 in quanto la sua derivata è 0).
Se hai altri dubbi chiedi pure
Nel caso ti venisse la curiosità di sapere il perché delle risposte di antore91 e filippo.mauro, scrivo il calcolo, non rigoroso, che permette di ottenere y'=2x da y=x^2-1. Per funzioni di questo tipo, il ragionamento è molto semplice, e penso ti possa essere utile. Visto una volta, e capito il procedimento, si usano i metodi esposti qui sopra. Nessuno, ovviamente, calcola la derivata col rapporto incrementale, in questi casi.
La derivata è il limite del rapporto incrementale:
Nel caso di:
dobbiamo sostituire f(x+h) il valore x in x+h, ottenendo:
Dunque:
E ora, quando h tende a 0, ovviamente sarà:
Come vedi, niente di complicato.
La derivata è il limite del rapporto incrementale:
[math]f'(x)=\lim_{h \to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}} \, ossia\\f'(x)=\lim_{h \to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}[/math]
Nel caso di:
[math]f(x)=x^2-1[/math]
dobbiamo sostituire f(x+h) il valore x in x+h, ottenendo:
[math]f(x+h)=(x+h)^2-1[/math]
Dunque:
[math]\begin{align}f'(x)&=\lim_{h \to 0}{\frac{[(x+h)^2-1]-(x^2-1)}{h}}\\&=\lim_{h \to 0}{\frac{\not{x^2}+2hx+h^2-\not{1}-\not{x^2}+\not{1}}{h}}\\&=\lim_{h \to 0}{\frac{\not{h}(2x+h)}{\not{h}}}\\&=\lim_{h \to 0}{(2x+h)}\end{align}[/math]
E ora, quando h tende a 0, ovviamente sarà:
[math]f'(x)=2x[/math]
Come vedi, niente di complicato.
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