Derivata uguale a zero
Ciao a tutti! Cosa posso dire se la derivata di una funzione è uguale a zero? è giusto dire che la funzione allora è una linea retta? Grazie
Risposte
Come posso provarlo?
"absurd00":
Ciao a tutti! Cosa posso dire se la derivata di una funzione è uguale a zero? è giusto dire che la funzione allora è una linea retta? Grazie
Se $f'(x)=0$ per ogni x allora $f(x)=k$ dove k e' una costante e quindi la tua f e' una retta orizzontale.
Infatti le uniche funzioni che hanno derivata nulla sono le costanti
"misanino":
[quote="absurd00"]Ciao a tutti! Cosa posso dire se la derivata di una funzione è uguale a zero? è giusto dire che la funzione allora è una linea retta? Grazie
Se $f'(x)=0$ per ogni x allora $f(x)=k$ dove k e' una costante e quindi la tua f e' una retta orizzontale.
Infatti le uniche funzioni che hanno derivata nulla sono le costanti[/quote]
NB:
- se una funzione è costante allora la sua derivata è zero (segue banalmente dalla definizione di derivata)
- se una funzione ha derivata prima nulla su un intervallo, allora è costante su quell'intervallo (deriva dalla famigliola dei teoremi di Rolle - Lagrange -Cauchy)
E aggiungiamo anche un'altra cosa , per chiarezza : se la derivata di una funzione è uguale a zero in un solo punto ( non in un intervallo quindi ) , vuol dire che in quel punto la tangente al grafico è orizzontale , quindi quel punto può essere di massimo, di minimo , oppure di flesso orizzontale .
Come lo si stabilisce ? Si calcola la derivata seconda , sempre in quel punto . Se questa è positiva , vuol dire che la derivata prima è crescente , quindi la funzione di partenza ha ivi un minimo ( relativo) . Se la derivata seconda è negativa , vuol dire che la derivata prima è decrescente , ciè la funzione di partenza ha ivi un massimo (relativo) . E se la derivata seconda è nulla , normalmente si ha un flesso orizzontale .
Dico "normalmente" perchè a volte bisogna andare avanti nel calcolo di derivate di ordine superiore , per capire come si comporta in quel punto la funzione .... Ma finiamola qui , negli esercizi che si danno normalmente non capita di dover andare oltre la derivata seconda .
Se vuoi visualizzare quello che ho scritto , disegnati il grafico di $ y = sen x $ nell'intervallo $ [0,2pi]$ , e studiati la derivata prima e seconda nei punti di max e di min
Come lo si stabilisce ? Si calcola la derivata seconda , sempre in quel punto . Se questa è positiva , vuol dire che la derivata prima è crescente , quindi la funzione di partenza ha ivi un minimo ( relativo) . Se la derivata seconda è negativa , vuol dire che la derivata prima è decrescente , ciè la funzione di partenza ha ivi un massimo (relativo) . E se la derivata seconda è nulla , normalmente si ha un flesso orizzontale .
Dico "normalmente" perchè a volte bisogna andare avanti nel calcolo di derivate di ordine superiore , per capire come si comporta in quel punto la funzione .... Ma finiamola qui , negli esercizi che si danno normalmente non capita di dover andare oltre la derivata seconda .
Se vuoi visualizzare quello che ho scritto , disegnati il grafico di $ y = sen x $ nell'intervallo $ [0,2pi]$ , e studiati la derivata prima e seconda nei punti di max e di min
"peppensionato45":ah, sì? La funzione seguente, quindi, non esiste.
E aggiungiamo anche un'altra cosa , per chiarezza : se la derivata di una funzione è uguale a zero in un solo punto ( non in un intervallo quindi ) , vuol dire che in quel punto la tangente al grafico è orizzontale , quindi quel punto può essere di massimo, di minimo , oppure di flesso orizzontale .
$f(x)={(0, \ text{ se } x=0) , ( x^2 \sin(1/x), \ text{ se } x!=0 ):}$
Egr professor Patrone ,
oh sì , certamente la funzione che lei ha scritto esiste : l'ha scritta !
Mi sembra però una funzione un pò patologica , come d'altronde ne esistono tante , che lei certamente conosce meglio di me, visto che io non sono un professore di Matematica, e lei sì ! E se ci mettiamo a presentare queste funzioni ai ragazzi che stanno imparando le derivate ....non so che cosa potranno comprendere. Un esempio è la funzione di Dirichlet .
Altri esempi : leggo sul libro " Calcolo - teoria e applicazioni - autore : Franco Conti - ed. Mc Graw Hill - 1993 " , a pag. 196 , cap. 4 , che : " nel 1861 Riemann ritenne di descrivere un esempio di funzione continua che non è derivabile in alcun punto e altrettanto fece Weierstrass più tardi . Le figure 4.8 danno un'idea del grafico di questi veri e propri mostri dell' Analisi " E poi la curva di Koch , e quella di Peano , ecc ecc
Adesso lei dirà che non c'entra la continuità con la sua stroncatura dei miei errori , e non ho capito nulla su " continuità " e " derivabilità" , ma questo spero di saperlo , e cioè che la prima non implica la seconda...
Forse sono stato un pò ingenuo, ma a fin di bene , nel sottindendere che parlavo di " funzione derivabile in un punto " , cioè tale che "esiste ed è finito , in quel punto , il limite del rapporto incrementale per incremento tendente a zero " ( chissà se almeno questa definizione l'accontenta) , quando ho scritto quel che ho scritto . Ma sempre sul libro di Conti (che non so se sia ancora docente alla Normale Superiore di Pisa ) leggo a pag 224 , stesso capitolo 4 : " Se f è una funzione derivabile, un punto c tale che f'(c) = 0 si dice 'punto critico' o 'punto stazionario' per la funzione f. Poichè in un punto critico la derivata è zero la retta tangente al grafico è parallela all'asse x. Ecc ecc... " Il testo poi prosegue con degli esempi , e a pag seguente , verso la fine : " E' chiaro allora che se f è derivabile in c il comportamento locale del suo grafico è strettamente legato al segno della sua derivata" E cosi via , con le nozioni che tutti più o meno conosciamo circa i massimi , minimi ecc
Comunque, professore, se non ho capito nulla della derivata, o non ho capito che cosa ho sbagliato , faccia come se fossi un utente del forum , e me lo spieghi , per favore.
Se poi la mia risposta la irrita, mi cacci pure dal forum .
Cordialmente
oh sì , certamente la funzione che lei ha scritto esiste : l'ha scritta !
Mi sembra però una funzione un pò patologica , come d'altronde ne esistono tante , che lei certamente conosce meglio di me, visto che io non sono un professore di Matematica, e lei sì ! E se ci mettiamo a presentare queste funzioni ai ragazzi che stanno imparando le derivate ....non so che cosa potranno comprendere. Un esempio è la funzione di Dirichlet .
Altri esempi : leggo sul libro " Calcolo - teoria e applicazioni - autore : Franco Conti - ed. Mc Graw Hill - 1993 " , a pag. 196 , cap. 4 , che : " nel 1861 Riemann ritenne di descrivere un esempio di funzione continua che non è derivabile in alcun punto e altrettanto fece Weierstrass più tardi . Le figure 4.8 danno un'idea del grafico di questi veri e propri mostri dell' Analisi " E poi la curva di Koch , e quella di Peano , ecc ecc
Adesso lei dirà che non c'entra la continuità con la sua stroncatura dei miei errori , e non ho capito nulla su " continuità " e " derivabilità" , ma questo spero di saperlo , e cioè che la prima non implica la seconda...
Forse sono stato un pò ingenuo, ma a fin di bene , nel sottindendere che parlavo di " funzione derivabile in un punto " , cioè tale che "esiste ed è finito , in quel punto , il limite del rapporto incrementale per incremento tendente a zero " ( chissà se almeno questa definizione l'accontenta) , quando ho scritto quel che ho scritto . Ma sempre sul libro di Conti (che non so se sia ancora docente alla Normale Superiore di Pisa ) leggo a pag 224 , stesso capitolo 4 : " Se f è una funzione derivabile, un punto c tale che f'(c) = 0 si dice 'punto critico' o 'punto stazionario' per la funzione f. Poichè in un punto critico la derivata è zero la retta tangente al grafico è parallela all'asse x. Ecc ecc... " Il testo poi prosegue con degli esempi , e a pag seguente , verso la fine : " E' chiaro allora che se f è derivabile in c il comportamento locale del suo grafico è strettamente legato al segno della sua derivata" E cosi via , con le nozioni che tutti più o meno conosciamo circa i massimi , minimi ecc
Comunque, professore, se non ho capito nulla della derivata, o non ho capito che cosa ho sbagliato , faccia come se fossi un utente del forum , e me lo spieghi , per favore.
Se poi la mia risposta la irrita, mi cacci pure dal forum .
Cordialmente
No problem, non mi irrito. Anche perché so quanto posso essere urticante e quindi ho sempre con me "scaniggea" in abbondanza.
Sul merito. Ovvio che il livello del linguaggio va adeguato al contesto. Visto che scrivo e parlo (anche) a livello divulgativo, so bene quanto questo possa a volte essere faticoso.
Ma non per questo si devono scrivere cose sbagliate. Mi spiace se la mia funzione non piace, ma c'è. E mostra che l'affermazione citata è falsa. Era mio dovere avvisare gli utenti del forum di questo fatto (purtroppo non sono un "semplice utente" e quindi ho anche delle responsabilità cui non mi posso sottrarre).
Avrei potuto dirlo più gentilmente, ovvio. Ma l'affermazione cui rispondevo era perentoria. E questo mi ha indotto a una replica scortese. Essendo ben consapevole della scortesia, ma soppesando il fatto che in questo modo avrei attirato vieppiù l'attenzione sull'errore, con qualche speranza in più che altri non lo commettano in futuro.
Sul merito. Ovvio che il livello del linguaggio va adeguato al contesto. Visto che scrivo e parlo (anche) a livello divulgativo, so bene quanto questo possa a volte essere faticoso.
Ma non per questo si devono scrivere cose sbagliate. Mi spiace se la mia funzione non piace, ma c'è. E mostra che l'affermazione citata è falsa. Era mio dovere avvisare gli utenti del forum di questo fatto (purtroppo non sono un "semplice utente" e quindi ho anche delle responsabilità cui non mi posso sottrarre).
Avrei potuto dirlo più gentilmente, ovvio. Ma l'affermazione cui rispondevo era perentoria. E questo mi ha indotto a una replica scortese. Essendo ben consapevole della scortesia, ma soppesando il fatto che in questo modo avrei attirato vieppiù l'attenzione sull'errore, con qualche speranza in più che altri non lo commettano in futuro.
Egregio professore,
lei si conosce bene , evidentemente ,e ha pronta quella roba che ha detto per i momenti di bisogno , come questo ... Che roba è ? Sa , ho lavorato anche a Genova , per circa quattro anni, e qualcosa capisco, belin , ma mica tuttoo ! In ogni caso , è opportuno chiarirsi se è fatto a fin di bene, anche se in maniera un pò rude . Anch'io nel mio lavoro ho fatto notare tante volte degli errori a persone che lavoravano con me, e non sempre sono stato dolce.... .Comunque , alla nostra età ( ho qualche anno più di lei ) non conviene arrabbiarsi troppo , c'è rischio che venga una TPSV , magari una FA , e poi la PA e anche il PSA salgono...
Sul merito . La mia affermazione, cioè quel " quindi" che lei ha evidenziato in rosso , più che " perentoria " , era distratta, nel senso che non pensavo a funzioni un pò ... alticce! . Non è un problema di funzioni che piacciono o non piacciono , a qualcuno non piace neanche la funzione y = x . Quelle funzioni ci sono , come lei dice , e a chi piacciono, piacciono , a chi no, no .
Però a questo punto vorrei pregarla di metter in chiaro l'errore , e come si sarebbe dovuto dire . E' la premessa " Se una funzione è derivabile " che mancava ? Oppure mancava qualcos'altro ? Vorrei capire fino in fondo , mi piace capire il vero quando sbaglio, e dalle mie parti ( ma ora vivo alla latitudine di Genova) si dice che "nessuno è nato imparato" .Oltretutto un suo chiarimento sarebbe un bene per altri utenti no ?
Sempre cordialmente, belin !
lei si conosce bene , evidentemente ,e ha pronta quella roba che ha detto per i momenti di bisogno , come questo ... Che roba è ? Sa , ho lavorato anche a Genova , per circa quattro anni, e qualcosa capisco, belin , ma mica tuttoo ! In ogni caso , è opportuno chiarirsi se è fatto a fin di bene, anche se in maniera un pò rude . Anch'io nel mio lavoro ho fatto notare tante volte degli errori a persone che lavoravano con me, e non sempre sono stato dolce.... .Comunque , alla nostra età ( ho qualche anno più di lei ) non conviene arrabbiarsi troppo , c'è rischio che venga una TPSV , magari una FA , e poi la PA e anche il PSA salgono...
Sul merito . La mia affermazione, cioè quel " quindi" che lei ha evidenziato in rosso , più che " perentoria " , era distratta, nel senso che non pensavo a funzioni un pò ... alticce! . Non è un problema di funzioni che piacciono o non piacciono , a qualcuno non piace neanche la funzione y = x . Quelle funzioni ci sono , come lei dice , e a chi piacciono, piacciono , a chi no, no .
Però a questo punto vorrei pregarla di metter in chiaro l'errore , e come si sarebbe dovuto dire . E' la premessa " Se una funzione è derivabile " che mancava ? Oppure mancava qualcos'altro ? Vorrei capire fino in fondo , mi piace capire il vero quando sbaglio, e dalle mie parti ( ma ora vivo alla latitudine di Genova) si dice che "nessuno è nato imparato" .Oltretutto un suo chiarimento sarebbe un bene per altri utenti no ?
Sempre cordialmente, belin !
"peppensionato45":Parietaria, detta anche gambarossa.
Egregio professore,
lei si conosce bene , evidentemente ,e ha pronta quella roba che ha detto per i momenti di bisogno , come questo ... Che roba è ? Sa , ho lavorato anche a Genova , per circa quattro anni, e qualcosa capisco, belin , ma mica tuttoo !
"peppensionato45":
Sul merito . La mia affermazione, cioè quel " quindi" che lei ha evidenziato in rosso , più che " perentoria " , era distratta, nel senso che non pensavo a funzioni un pò ... alticce! . Non è un problema di funzioni che piacciono o non piacciono , a qualcuno non piace neanche la funzione y = x . Quelle funzioni ci sono , come lei dice , e a chi piacciono, piacciono , a chi no, no .
Però a questo punto vorrei pregarla di metter in chiaro l'errore , e come si sarebbe dovuto dire . E' la premessa " Se una funzione è derivabile " che mancava ? Oppure mancava qualcos'altro ? Vorrei capire fino in fondo , mi piace capire il vero quando sbaglio, e dalle mie parti ( ma ora vivo alla latitudine di Genova) si dice che "nessuno è nato imparato" .Oltretutto un suo chiarimento sarebbe un bene per altri utenti no ?
Il fatto è che se una funzione è derivabile e la sua derivata si annulla in un punto, non si può garantire che tale punto sia di max o di min o di flesso. E questo è provato dal mio esempio (o da altri simili che si possono fare).
Questa convinzione è piuttosto diffusa tra gli studenti delle secondarie (non pensano a queste funzioni "alticce"), ed è stato anche per questi altri utenti che ho rimarcato l'errore.
egr professore ,
ho capito il chiarimento, grazie.
Riguardo alla funzione del suo esempio , essa dovrebbe essere derivabile in x=0 , ma per calcolarne la derivata è necessario scrivere il rapporto incrementale (anzichè applicare le regole di derivazione, poichè con queste si perviene ad una espressione dove non si può sostituire direttamente x=0 ) e poi calcolare il limite di tale rapporto per $hrarr0$ , limite che dovrebbe essere = 0 . Inoltre questa funzione è anche continua in x= 0 , avendo eliminato la discontinuità di $ x^2 sen(1/x) $ con : $f(x) = 0 per x=0 $. E' corretto quanto sopra ?
Certo che con funzioni così bisogna stare molto attenti...
ho capito il chiarimento, grazie.
Riguardo alla funzione del suo esempio , essa dovrebbe essere derivabile in x=0 , ma per calcolarne la derivata è necessario scrivere il rapporto incrementale (anzichè applicare le regole di derivazione, poichè con queste si perviene ad una espressione dove non si può sostituire direttamente x=0 ) e poi calcolare il limite di tale rapporto per $hrarr0$ , limite che dovrebbe essere = 0 . Inoltre questa funzione è anche continua in x= 0 , avendo eliminato la discontinuità di $ x^2 sen(1/x) $ con : $f(x) = 0 per x=0 $. E' corretto quanto sopra ?
Certo che con funzioni così bisogna stare molto attenti...
"peppensionato45":
Riguardo alla funzione del suo esempio , essa dovrebbe essere derivabile in x=0 , ma per calcolarne la derivata è necessario scrivere il rapporto incrementale (anzichè applicare le regole di derivazione, poichè con queste si perviene ad una espressione dove non si può sostituire direttamente x=0 ) e poi calcolare il limite di tale rapporto per $hrarr0$ , limite che dovrebbe essere = 0 . Inoltre questa funzione è anche continua in x= 0 , avendo eliminato la discontinuità di $ x^2 sen(1/x) $ con : $f(x) = 0 per x=0 $. E' corretto quanto sopra ?
Certo che con funzioni così bisogna stare molto attenti...
Corretto!
Già che sono in ballo, una notazione pignola. Dire: "anzichè applicare le regole di derivazione, poichè con queste si perviene ad una espressione dove non si può sostituire direttamente x=0" non è appropriato. Il punto è che non si possono applicare le regole di derivazione, "punto!". Le regole di derivazione ci offrono due cose:
- ci dicono che la funzione è derivabile per $x!=0$;
- ci offrono la possibilità di ottenere una espressione esplicita della derivata, sempre per $x!=0$.
Il problema non è che non si possa sostituire direttamente nella espressione, ma è che non siamo autorizzati ad usare l'espressione per $x=0$.
Faccio un esempio. Prendiamo $f(x) = log (x)$. La derivata prima è $1/x$. Ora, io posso certamente sostituire ad esempio $-3$ in questa espressione. Ma ciò non c'entra nulla con la derivata di $f$. Infatti, l'espressione trovata è valida solo per $x>0$ (ovviamente...).
Chiaro , chiaro , professore ! Nell' esempio del logaritmo direi che è addirittura evidente , dovendo essere l'argomento del log un reale positivo....E d'altronde si può interpretare il logaritmo di x anche come area ( quindi , come integrale ) da 1 a x della funzione 1/x ,se ricordo bene ,e l'area deve essere positiva ....mi corregga sempre se sbaglio , soprattutto a vantaggio degli altri utenti del forum , i giovani innanzitutto !
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