Derivata seconda - studio di funzione

[eli.turato]

Buondì!
Ho un dubbio atroce su di un calcolo che dovrebbe essere banale.
Calcolando la derivata seconda nello studio di una funzione, ottengo la seguente stringa:

$ =(-9(3x-2)-[3-18ln(3x-2)(3x-2)])/(3x-2)^4 $

Se io volessi raccogliere $(3x-2)$ per semplificare un pò il denominatore, dovrei raccogliere anche il $3x-2$ del logaritmo naturale?
Se così fosse allora $ln(1)=0$..

Inoltre questa risulta essere la derivata seconda della funzione: $f(x)=(ln(3x-2))/(3x-2)$
Il punto è che studiando questa funzione mi viene che la concavità cambia prima del punto di massimo, cosa che mi sembra un pò impossibile Questo ovviamente succede perchè nella derivata seconda ho raccolto il $(3x-2)$ senza raccoglierlo anche dal logaritmo naturale.

Qualcuno sarebbe così gentile da aiutarmi?

[caffeinaplus]

$f(x) =(ln(3x-2))/(3x-2)$
$f'(x) = (3(1-ln(3x-2)))/(3x-2)^2 $
$f''(x) = -9*((3x-2)(1-2[1-ln(3x-2)]))/(3x-2)^4$

E a questo punto non ti resta che semplificare

Edit: inoltre se non ho preso sviste varie è concava $AA x \in (2/3;1]$ e convessa nel rimanente

Edit dell'edit : in verità ci sarebbe da vedere anche quello che accade per $x->2/3$

[seb1]

"elytu98":Se io volessi raccogliere $(3x-2)$ per semplificare un pò il denominatore, dovrei raccogliere anche il $3x-2$ del logaritmo naturale?
Se così fosse allora $ln(1)=0$

Assolutamente no. "Se così fosse allora \(\ln{1}=0\)" e con la tua premessa si avrebbe \(\ln{x}=x\cdot\ln{1}=x\cdot0=0,\>\forall x\).
In ogni caso, per semplificarsi un pochetto i conti potresti imporre \(y=3x-2\) ottenendo \(f(y)=\frac{\ln{y}}{y}\) le cui derivate prima e seconda sono:\[\begin{equation*}f'(y)=3\frac{1-\ln{y}}{y^2}\\f''(y)=9\frac{2\ln{y}-3}{y^3}\end{equation*}\]