Derivata seconda

[franchinho]

Devo fare la derivata seconda di: $f^{\prime}(x)=(e^x*x)/(x+1)^2$, riesco a risolverla fino a questo passaggio: $(e^x(1+x)(x+1)^2-2(x+1)(xe^x))/(x+1)^4$, poi vedo che posso mettere a fattor comune: $e^x(x+1)$, ma non so procedere perché non so cosa fare con $(x+1)^2$ al numeratore.

[chiaraotta1]

$(e^x(1+x)(x+1)^2-2(x+1)(xe^x))/(x+1)^4=$
$e^x((x+1)^2-2x)/(x+1)^3=$
$e^x(x^2+2x+1-2x)/(x+1)^3=$
$e^x(x^2+1)/(x+1)^3$

[franchinho]

La derivata seconda è corretta in modo indiscutibile, ma dai passaggi si evince che la prima parentesi $(1+x)$ si semplifica con il $4$ della parentesi del denominatore, corretto? Ma la semplificazione si può fare solo quando al numeratore ho un prodotto di fattori, in questo caso io non avrei al numeratore un prodotto di fattori perché avre tre fattori: $e^x(x+1)(x+1)^2$ e poi il $-2x$; ecco è proprio il $-2x$ che non capisco nel senso che non è che si moltiplica per $-2x$ ma è una somma, mi scuso ma non l'ho capito bene il passaggio. Perché se $-2x$ è un fattore che si moltiplica con gli altri, poi quando sviluppo il quadrato del binomio si dovrebbe moltiplicare per lo sviluppo del quadrato e il risultato non coinciderebbe (sto impazzendo!!)

[axpgn]

Guarda che ha semplicemente saltato un passaggio: oltre a $e^x$ ha raccolto anche $x+1$ che è comune ai due addendi del numeratore (semplificandolo poi col denominatore).
Cordialmente, Alex

[franchinho]

Sì questo è chiaro, infatti nella mia domanda è incluso quel passaggio, il problema è che non capisco perché è lecito semplificare col denominatore quando al nmumeratore non abbiamo soltanto prodotti si fattori ma c'è la somma con il $-2x$, il $-2x$ non moltiplica.... Sono duro lo so, ma ancora non l'ho capito bene.... Cioè dopo il passaggio del raccoglimento di $e^x(x+1)$ io continuo ad avere due addendi al numeratore, non due fattori perché c'è il $-2x$.

[axpgn]

"Francobati":Sì questo è chiaro, ...

Mica tanto ...

Da questa $(e^x(1+x)(x+1)^2-2(x+1)(xe^x))/(x+1)^4$, raccogliamo prima $e^x$ ed otteniamo $(e^x*((1+x)(x+1)^2-2(x+1)(x)))/(x+1)^4$. Adesso raccogliamo $1+x$ ed otteniamo $(e^x*(1+x)*((x+1)^2-2(x)))/(x+1)^4$.
Quindi al numeratore abbiamo TRE fattori di cui uno semplifichiamo col denominatore ed otteniamo $(e^x*((x+1)^2-2(x)))/(x+1)^3$. Puliamo un po' le parentesi ed ecco la versione finale $e^x((x+1)^2-2x)/(x+1)^3$.
Ok?

Cordialmente, Alex

[franchinho]

Adesso è tutto chiaro, grazie mille infinitamente, devo imparare e fare attenzione ad usare correttamente le parentei, grazie.