Derivata prima e seconda della funzione.
salve ho la seguente funzione,
$f(x) = (x^2-1)/(x^3)$
devo trovare la derivata prima e seconda.
(anzi è solo una parte poichè comprende lo studio di funzione completo
ma credo che i maggiori problemi li abbia incontrati nelle derivate...
quindi le derivate sono rispettivamente per studiare
crescenza e decrescenza con massimi e minimi, concavità e convessità con punti di flesso)
scrivo qui i passaggi e vediamo se è corretto...
derivata prima:
$y'=([2(x^2-1)2x]x^3-(x^2-1)^2(3x^2))/(x^6)$
$\Rightarrow (4x^4(x^2-1)-3x^2(x^2-1)^2)/(x^6)$
$\Rightarrow (x^2(x^2-1)[4x^2-3(x^2-1)])/(x^6)$
$\Rightarrow ((x^2-1)(x^2+1))/(x^4)$
derivata seconda:
per facilitarmi il compito ho moltiplicato:
$y'=(x^4-1)/x^4$
$y''= (4x^3(x^4)-(x^4-1)4x^3)/(x^8)$
$\Rightarrow (4x^3(x^4-x^4+1))/x^8$
$\Rightarrow 4/x^5$
spero possiate gentilmente aiutarmi nella correzione.
mille grazie.
$f(x) = (x^2-1)/(x^3)$
devo trovare la derivata prima e seconda.
(anzi è solo una parte poichè comprende lo studio di funzione completo
ma credo che i maggiori problemi li abbia incontrati nelle derivate...
quindi le derivate sono rispettivamente per studiare
crescenza e decrescenza con massimi e minimi, concavità e convessità con punti di flesso)
scrivo qui i passaggi e vediamo se è corretto...
derivata prima:
$y'=([2(x^2-1)2x]x^3-(x^2-1)^2(3x^2))/(x^6)$
$\Rightarrow (4x^4(x^2-1)-3x^2(x^2-1)^2)/(x^6)$
$\Rightarrow (x^2(x^2-1)[4x^2-3(x^2-1)])/(x^6)$
$\Rightarrow ((x^2-1)(x^2+1))/(x^4)$
derivata seconda:
per facilitarmi il compito ho moltiplicato:
$y'=(x^4-1)/x^4$
$y''= (4x^3(x^4)-(x^4-1)4x^3)/(x^8)$
$\Rightarrow (4x^3(x^4-x^4+1))/x^8$
$\Rightarrow 4/x^5$
spero possiate gentilmente aiutarmi nella correzione.
mille grazie.
Risposte
E che è!
La derivata di $(f(x))/(g(x))$ rispetto a $x$ è $(f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g^2(x))$.
Detto questo, $f(x)=x^2 - 1$ e $g(x)=x^3$, quindi $f'(x)=2x$ e $g'(x)=3x^2$, sicché $(f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g^2(x))=(2x*x^3 - (x^2 - 1)*3x^2)/(x^6)=(2x^4 - 3x^4 + 3x^2)/(x^6)=(3x^2 - x^4)/(x^6)=(3-x^2)/(x^3)$.
Il tutto salvo miei probabili orrori.
La derivata di $(f(x))/(g(x))$ rispetto a $x$ è $(f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g^2(x))$.
Detto questo, $f(x)=x^2 - 1$ e $g(x)=x^3$, quindi $f'(x)=2x$ e $g'(x)=3x^2$, sicché $(f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g^2(x))=(2x*x^3 - (x^2 - 1)*3x^2)/(x^6)=(2x^4 - 3x^4 + 3x^2)/(x^6)=(3x^2 - x^4)/(x^6)=(3-x^2)/(x^3)$.
Il tutto salvo miei probabili orrori.
chiedo umilmente scusa....:
ho dimenticato di mettere il quadrato nella traccia, e il procedimento che ho fatto è in base a questa traccia:
(altrimenti sarbbe stato troppo assurdo.....)
$f(x) = (x^2-1)^2/(x^3)$
perciò come va il tutto?
chiedo scusa e ancora grazie.
ho dimenticato di mettere il quadrato nella traccia, e il procedimento che ho fatto è in base a questa traccia:
(altrimenti sarbbe stato troppo assurdo.....)
$f(x) = (x^2-1)^2/(x^3)$
perciò come va il tutto?
chiedo scusa e ancora grazie.
"cloe009":
salve ho la seguente funzione,
derivata prima:
$y'= (x^2(x^2-1)[4x^2-3(x^2-1)])/(x^6)$
fino a qui è giusta poi ti sei dimenticata di moltiplicare $3*1$ e...
la derivata esatta è
$y'= ((x^2-1)(x^2+3))/(x^4)$
ovviamente la derivata seconda viene sbagliata, anche se i calcoli sono esatti, non lo è la funzione di partenza.
ho problemi nella risoluzione della derivata seconda.
in questo caso qual è la formula da seguire?
è lo stesso se spezzo in due la derivata prima come segue? quindi ottengo la derivata seconda...
$y'=(x^2-1)/(x^4)+(x^2+3)/(x^4)$
$y''=(2x(x^4)-4x^3(x^2-1))/(x^8)+(2x(x^4)-4x^3(x^2+3))/(x^8)$
in questo caso qual è la formula da seguire?
è lo stesso se spezzo in due la derivata prima come segue? quindi ottengo la derivata seconda...
$y'=(x^2-1)/(x^4)+(x^2+3)/(x^4)$
$y''=(2x(x^4)-4x^3(x^2-1))/(x^8)+(2x(x^4)-4x^3(x^2+3))/(x^8)$
basandomi su questa derivata seconda ottengo la seguente:
che pongo uguale a 0 per trovare concavità, convessità e flessi
$(-4(2+x^2))/(x^5)>0$
$x^2+2>0 \Rightarrow AA x \in RR$
$x^5>0 \Rightarrow x>0$
da tutto ciò ottengo che ha concavità verso il basso per x<0 viceversa per x>0
ma non ho flessi poiche dominio: $x!=0$
è giusta questa cosa?
io qui mi ho la soluzione del grafico gia tutto disegnato con:
$A(1;0), B(-1;0), y=x$
e fin qui risulta anche a me
poi ho nella soluzione del grafico altri due punti:
$F_2(sqrt(3);(4*sqrt(3))/(9))$
$F_2(-sqrt(3);-(4*sqrt(3))/(9))$
cosa sono questi? punti di flesso?
da quanto trovato da me.. non dovrebbero esserci.... come mai questa cosa?
che pongo uguale a 0 per trovare concavità, convessità e flessi
$(-4(2+x^2))/(x^5)>0$
$x^2+2>0 \Rightarrow AA x \in RR$
$x^5>0 \Rightarrow x>0$
da tutto ciò ottengo che ha concavità verso il basso per x<0 viceversa per x>0
ma non ho flessi poiche dominio: $x!=0$
è giusta questa cosa?
io qui mi ho la soluzione del grafico gia tutto disegnato con:
$A(1;0), B(-1;0), y=x$
e fin qui risulta anche a me
poi ho nella soluzione del grafico altri due punti:
$F_2(sqrt(3);(4*sqrt(3))/(9))$
$F_2(-sqrt(3);-(4*sqrt(3))/(9))$
cosa sono questi? punti di flesso?
da quanto trovato da me.. non dovrebbero esserci.... come mai questa cosa?
"cloe009":
è lo stesso se spezzo in due la derivata prima come segue? ...$y'=(x^2-1)/(x^4)+(x^2+3)/(x^4)$
No che non è lo stesso, avevi un prodotto e lo hai trasformato in una somma, se ti pare la stessa cosa...
La derivata seconda è $y''=D((x^4+2x^2-3)/x^4)=(12-4x^2)/x^5$
ok. lo pongo $>0$ se non erro di nuovo
e studio la concavità. inoltre trovo punti di flesso per $-sqrt(3)
e poi come faccio ad ottenere $(4*sqrt(3))/(9)$ e $(-4*sqrt(3))/(9)$. da dove escono?
e studio la concavità. inoltre trovo punti di flesso per $-sqrt(3)
e poi come faccio ad ottenere $(4*sqrt(3))/(9)$ e $(-4*sqrt(3))/(9)$. da dove escono?
$+-sqrt3$ sono i valori assunti dalla x, in corrispondenza la funzione assumerà i valori $+-(4sqrt3)/9$, provare per credere:
per $x=sqrt3$ si ottiene $f(sqrt3)=(3-1)^2/(sqrt3)^3=4/(3sqrt3)$ che una volta razionalizzato diventa $(4sqrt3)/9$,
lo stesso calcolo va fatto per $x=-sqrt3$
per $x=sqrt3$ si ottiene $f(sqrt3)=(3-1)^2/(sqrt3)^3=4/(3sqrt3)$ che una volta razionalizzato diventa $(4sqrt3)/9$,
lo stesso calcolo va fatto per $x=-sqrt3$
[OT]
scusate , posso chiedere a cloe009 che classe frequenta ?
...
cloe009 che classe frequenti ?
[/OT]
scusate il disturbo , buona giornata
scusate , posso chiedere a cloe009 che classe frequenta ?
...
cloe009 che classe frequenti ?
[/OT]
scusate il disturbo , buona giornata
si 
avevo già risolto da me. grazie ugualmente.
percepisco una certa ironia nell'ultimo post....
scusate talvolta le mie domande troppo banali,
avevo perso la pazienza d'avanti ad una funzione di cui non stavo riuscendo a trovare le derivate corrette.
ma dopotutto: domandare è lecito, rispondere è cortesia.
@melia come sempre è disponibilissima, chiarissima e molto paziente, come tanti (per fortuna) altri utenti qui nel forum.
è grazie a gente paziente come voi che questo forum va avanti ed è così pieno di utenze!
grazie mille davvero.
avevo già risolto da me. grazie ugualmente. percepisco una certa ironia nell'ultimo post....
scusate talvolta le mie domande troppo banali,
avevo perso la pazienza d'avanti ad una funzione di cui non stavo riuscendo a trovare le derivate corrette.
ma dopotutto: domandare è lecito, rispondere è cortesia.
@melia come sempre è disponibilissima, chiarissima e molto paziente, come tanti (per fortuna) altri utenti qui nel forum.
è grazie a gente paziente come voi che questo forum va avanti ed è così pieno di utenze!
grazie mille davvero.
"cloe009":
domandare è lecito, rispondere è cortesia.
Giustissimo.
"cloe009":
percepisco una certa ironia nell'ultimo post....
non ti stai riferendo al mio post vero ?!
Prego, ciao
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