Derivata prima....
Ciao, volevo fare una domanda.... se ho ad esempio la funzione $y=x^2/(x^2-|x-2|)$ e ne devo calcolare la derivata prima... di solito si spezza il valore assoluto in:
$y={((x^2)/(x^2-x+2)),(x>=2):} uuu {((x^2)/(x^2+x-2)),(x<2):}$; $rArr$ $y'={((4x-x^2)/(x^2-x+2)^2),(x>=2):} uuu {((x^2-4x)/(x^2+x-2)^2),(x<2):}$ e se ne studia il segno...fin quì ci sono....
se invece non volessi spezzare il valore assoluto la derivata prima di quella funzione esce:
$y'=-(x(x^2-6x+8))/(sqrt((x-2)^2)(x^2-|x-2|)^2)$ ora per studiare il segno devo comunque fare la discussione del valore assoluto?
$y={((x^2)/(x^2-x+2)),(x>=2):} uuu {((x^2)/(x^2+x-2)),(x<2):}$; $rArr$ $y'={((4x-x^2)/(x^2-x+2)^2),(x>=2):} uuu {((x^2-4x)/(x^2+x-2)^2),(x<2):}$ e se ne studia il segno...fin quì ci sono....
se invece non volessi spezzare il valore assoluto la derivata prima di quella funzione esce:
$y'=-(x(x^2-6x+8))/(sqrt((x-2)^2)(x^2-|x-2|)^2)$ ora per studiare il segno devo comunque fare la discussione del valore assoluto?
Risposte
Utilizzando la funzione $sign(x-2)$ si ottiene una formula più "pulita":
$y'=(sign(x-2)(-x^2+4x))/((x^2-|x-2|)^2)$
In questo modo, devi discutere solo la funzione $sign(x-2)$ al numeratore, dato che il denominatore non è mai negativo. In particolare, e più coerentemente, il denominatore è diverso da zero per $x=2$ e vale $16$ sia quando $xto2^-$ che quando $xto2^+$. Infine, al di là dei punti singolari $x=-2$ e $x=1$, per $x=2$ dovresti avere un punto angoloso.
$y'=(sign(x-2)(-x^2+4x))/((x^2-|x-2|)^2)$
In questo modo, devi discutere solo la funzione $sign(x-2)$ al numeratore, dato che il denominatore non è mai negativo. In particolare, e più coerentemente, il denominatore è diverso da zero per $x=2$ e vale $16$ sia quando $xto2^-$ che quando $xto2^+$. Infine, al di là dei punti singolari $x=-2$ e $x=1$, per $x=2$ dovresti avere un punto angoloso.
se ben ho capito la funzione $sign (x-2)$ sarebbe $1/(sqrt(x-2)^2)$... ?
Salve domy90,
la funzione $sign(x)$ non è quella che tu dici, essa è http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_segno, ma io ti sconsiglio di proseguire utilizzandola, visto che posti in "Secondaria II grado".
Cordiali saluti
la funzione $sign(x)$ non è quella che tu dici, essa è http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_segno, ma io ti sconsiglio di proseguire utilizzandola, visto che posti in "Secondaria II grado".
Cordiali saluti
Salve domy90,
per me è meglio che fai così!
Cordiali saluti
"domy90":
se invece non volessi spezzare il valore assoluto la derivata prima di quella funzione esce:
$y'=-(x(x^2-6x+8))/(sqrt((x-2)^2)(x^2-|x-2|)^2)$ ora per studiare il segno devo comunque fare la discussione del valore assoluto?
per me è meglio che fai così!
Cordiali saluti
ma in entrambi i casi che ho postato, procedo comunque bene??mi sembra di si...
Credo di aver capito cos'è la funzione segno ad esempio $-1=sign |-1|$....
Credo di aver capito cos'è la funzione segno ad esempio $-1=sign |-1|$....
Salve domy90,
si, in entrambi i casi procedi bene, la mia affermazione era solo una preferenza personale.
Cordiali saluti
si, in entrambi i casi procedi bene, la mia affermazione era solo una preferenza personale.
Cordiali saluti
no no di solito mi piace svolgere tutti i vari casi...ti ringrazio comunque per il suggerimento!!!!!! 
Prego.
Cordiali saluti domy90
Cordiali saluti domy90
"domy90":
Credo di aver capito cos'è la funzione segno ad esempio $-1=sign |-1|$....
Non è corretto. Per esempio, $sign(3)=1$, $sign(-5)=-1$. In generale:
$sign[f(x)]=1$ se $f(x)>0$
$sign[f(x)]=-1$ se $f(x)<0$
Nel tuo caso:
$sign(x-2)=1$ se $x>2$
$sign(x-2)=-1$ se $x<2$
Quando derivi, applichi la regola di derivazione di funzione composta:
$d/dx|x-2|=sign(x-2)*1$
moltiplicando la derivata del valore assoluto, la funzione $sign(x-2)$, per la derivata dell'argomento del valore assoluto, $1$. Si tratta di una notazione più compatta che può facilitare eventuali calcoli successivi. Un ultimo esempio:
$d/dx|x^2-5x+4|=sign(x^2-5x+4)*(2x-5)$
Poichè:
$sign(x^2-5x+4)=1$ se $x<1 vv x>4$
$sign(x^2-5x+4)=-1$ se $1
avresti ottenuto lo stesso risultato se tu avessi spezzato il valore assoluto prima di derivare.
ma nel link che mi hai fatto vedere dice che ogni numero reale può essere scritto come prodotto del suo valore assoluto e della sua funzione segno....ovvero dice:
$x=(segnx)*|x|$ quindi se $x=-1$ quell'uguaglianza viene: $-1=(segn(-1))*|-1|$
$x=(segnx)*|x|$ quindi se $x=-1$ quell'uguaglianza viene: $-1=(segn(-1))*|-1|$
"domy90":
Credo di aver capito cos'è la funzione segno ad esempio $-1=sign |-1|$....
Non sono stato io a proporti quel link, ma poco importa. Tra l'altro, quello che hai scritto nel tuo ultimo post è corretto. Mi stavo riferendo all'uguaglianza che ho di nuovo riportato:
$-1=sign|-1|$
Questa è sbagliata, visto che $sign|-1|=sign1=1$. Del resto, non so se intendevi aggiungere qualcosa al posto dei puntini di sospensione.
hai ragione scusami....non mi hai posto tu quel link!!!! scusa.... comunque no, non intendevo aggiungere altro....
Salve domy90,
la pagina di wikipedia l'ho postata io, comunque perché non apri un nuovo argomento nel settore analisi matematica per la funzione segno, sempre se vuoi delucidazioni in merito.
Cordiali saluti
la pagina di wikipedia l'ho postata io, comunque perché non apri un nuovo argomento nel settore analisi matematica per la funzione segno, sempre se vuoi delucidazioni in merito.
Cordiali saluti
diciamo che ho capito in linea di massima cos'è... però non ho capito a che serve, nel senso in un esercizio, come in questa derivata, come mi possa semplificare le cose...
Salve domy90,
non è necessario fare uso della funzione segno, puoi farne a meno.
Cordiali saluti
non è necessario fare uso della funzione segno, puoi farne a meno.
Cordiali saluti
ok grazie mille per l'aiuto.... se non dispiace volevo postare un'altra derivata, che in parte mi trovo....
la funzione da derivare è $f(x)=e^((2x-1)/(x-1))*1/(x-1)^2$ la derivata è semplice infatti mi viene:
$y'=-e^((2x-1)/(x-1))*1/(x-1)^4+e^((2x-1)/(x-1))*(2(x-1))/(x-1)^4=$ $e^((2x-1)/(x-1))*1/(x-1)^4*[-1+2x-2]=$ $e^((2x-1)/(x-1))*(2x-3)/(x-1)^4$
non avendo il risultato ho provato a calcolare la funzione con un programma e si trova: $e^((2x-1)/(x-1))*(1-2x)/(x-1)^4$ di solito mi trovavo sempre con il programma ora non riesco a capire dove sto sbagliando....
la funzione da derivare è $f(x)=e^((2x-1)/(x-1))*1/(x-1)^2$ la derivata è semplice infatti mi viene:
$y'=-e^((2x-1)/(x-1))*1/(x-1)^4+e^((2x-1)/(x-1))*(2(x-1))/(x-1)^4=$ $e^((2x-1)/(x-1))*1/(x-1)^4*[-1+2x-2]=$ $e^((2x-1)/(x-1))*(2x-3)/(x-1)^4$
non avendo il risultato ho provato a calcolare la funzione con un programma e si trova: $e^((2x-1)/(x-1))*(1-2x)/(x-1)^4$ di solito mi trovavo sempre con il programma ora non riesco a capire dove sto sbagliando....
Salve domy90,
un nuovo argomento no, vero?
Cordiali saluti
un nuovo argomento no, vero?
Cordiali saluti
Hai sbagliato un segno.
Hai la derivata di un quoziente, il numeratore è $g(x)=e^((2x-1)/(x-1) )$ e il denominatore è $h(x)=(x-1)^2$.
Sappiamo che la derivata di $(g(x))/(h(x))$ è $[g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x) ]/(h(x)^2)$. Quindi
$y'=-e^((2x-1)/(x-1))*1/(x-1)^4 - e^((2x-1)/(x-1))*(2(x-1))/(x-1)^4=...$ (col meno, non col più)
@garnak:
Hai la derivata di un quoziente, il numeratore è $g(x)=e^((2x-1)/(x-1) )$ e il denominatore è $h(x)=(x-1)^2$.
Sappiamo che la derivata di $(g(x))/(h(x))$ è $[g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x) ]/(h(x)^2)$. Quindi
$y'=-e^((2x-1)/(x-1))*1/(x-1)^4 - e^((2x-1)/(x-1))*(2(x-1))/(x-1)^4=...$ (col meno, non col più)
@garnak:
"garnak.olegovitc":Secondo me ha fatto bene a continuare qui. Perchè aprire un altro topic se l'argomento è lo stesso? (cfr. regolamento)
Salve domy90,
un nuovo argomento no, vero?
Cordiali saluti
Salve Gi8,
poteva cambiare titolo
Cordiali saluti
poteva cambiare titolo
Cordiali saluti
@garnak: non ne vedo il motivo. Non stiamo parlando di derivata prima? e il titolo è appunto "derivata prima".
Cosa doveva mettere?
Cosa doveva mettere?
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