Derivata e Limite
Devo studiare la funzione $(x-1)*exp(-((x-1)^(1/3)))$.
Se non ho sbagliato i calcoli, la sua derivata e' $(3*((x-1)^2)^(1/3)-(x-1))/((3*((x-1)^2)^(1/3))*exp((x-1)^(1/3)))$
(Anche se scritta cosi' con gli esponenti frazionari e' orrida).
Quali tecniche potrei utilizzare per calcolare il limite di questa derivata per x che tende a 1?
Se non ho sbagliato i calcoli, la sua derivata e' $(3*((x-1)^2)^(1/3)-(x-1))/((3*((x-1)^2)^(1/3))*exp((x-1)^(1/3)))$
(Anche se scritta cosi' con gli esponenti frazionari e' orrida).
Quali tecniche potrei utilizzare per calcolare il limite di questa derivata per x che tende a 1?
Risposte
La riscrivo più umanamente.
E' questa?
$(x-1)e^(-(x-1)^(1/3))$
E' questa?
$(x-1)e^(-(x-1)^(1/3))$
non riesco proprio a confrontarmi con il tuo risultato scritto in quel modo, ma mi sembra errato, almeno se è esatta la mia interpretazione, che per quanto riguarda il testo coincide con la versione di Steven. se applichi la formula di derivazione del prodotto tra (x-1) e l'esponenziale, ricorda che la derivata dell'esponenziale è "solo" se stessa per la derivata dell'esponente. controlla i calcoli. io posso avere sbagliato qualcosa... ma ho ottenuto
$(-x^2+2x+2)/(3*e^((x-1)^(1/3)))$
non so come me la sono cavata con la formula... ciao.
$(-x^2+2x+2)/(3*e^((x-1)^(1/3)))$
non so come me la sono cavata con la formula... ciao.
Quella che ha scritto steven e' la funzione di partenza.
Per quanto riguarda invece la derivata, sono abbastanza sicuro che sia quella che ho scritto io, considerando che il fattore con l'esponenziale, derivato, dovrebe essere:
$-1/3*(exp(-(x - 1)^(1/3)))/(x - 1)^(2/3)$
In ogni caso la derivata dovrebbe avere uno zero in x=28.
Concordate su quello che ho detto sinora?
Grazie.
Per quanto riguarda invece la derivata, sono abbastanza sicuro che sia quella che ho scritto io, considerando che il fattore con l'esponenziale, derivato, dovrebe essere:
$-1/3*(exp(-(x - 1)^(1/3)))/(x - 1)^(2/3)$
In ogni caso la derivata dovrebbe avere uno zero in x=28.
Concordate su quello che ho detto sinora?
Grazie.
Ho semplificato e la derivata mi viene $f'(x)=(3-root3 (x-1))/(3 e^(root3 (x-1)))$ così non ho neanche il probema del limite per $x->1$
la derivata è
$(3-(x-1)^(1/3))/(3e^(x-1)^(1/3))$
fai bene la derivata del prodotto, raccogli a fattor comune ecc.
Per il calvolo del limite non ci sono problemi, è una funzione continua
$(3-(x-1)^(1/3))/(3e^(x-1)^(1/3))$
fai bene la derivata del prodotto, raccogli a fattor comune ecc.
Per il calvolo del limite non ci sono problemi, è una funzione continua
Ho scritto male la derivata, comunque è la stessa scritta da Amelia.
sì, concordo con Amelia, ... , nel velocizzare i calcoli mi ero persa un esponente, mi scuso, ...
così coincide anche la soluzione del punto stazionario ....
comunque non mi pare che sia la stessa proposta da balnazzar. ciao.
così coincide anche la soluzione del punto stazionario ....
comunque non mi pare che sia la stessa proposta da balnazzar. ciao.
"adaBTTLS":
sì, concordo con Amelia, ... , nel velocizzare i calcoli mi ero persa un esponente, mi scuso, ...
così coincide anche la soluzione del punto stazionario ....
comunque non mi pare che sia la stessa proposta da balnazzar. ciao.
Sì che è la stessa
$(3*((x-1)^2)^(1/3)-(x-1))/((3*((x-1)^2)^(1/3))*exp((x-1)^(1/3)))=((x-1)^2)^(1/3)*(3-(x-1)^(1/3))/((3*((x-1)^2)^(1/3))*exp((x-1)^(1/3)))=(3-(x-1)^(1/3))/(exp((x-1)^(1/3)))
basta semplificare
Grazie per le numerose risposte.
La derivata di amelia e' effettivamente piu' smart, perche', oltre che piu' bella esteticamente, e' definita ovunque e si presta meglio per il calcolo di f''.
La si ottiene semplificando ad un certo punto un (x-1) al numeratore con un $((x-1)^2)^(1/3)$ al denominatore, che io invece avevo deciso di portarmi dietro (ora vi dico xche'..), ottenendo cosi' la derivata che ho postato.
Nel ricercare gli zeri (della mia), avevo risolto l'equazione irrazionale al numeratore ottenendo un polinomio di terzo grado che ha per radici 1,1,28, ma le prime due vanno scartate perche' "1" non appartiene al dominio della funzione.
Avevo scelto di non semplificare perche':
- Non mi e' ancora ben chiaro quando si possono fare queste semplificazioni e quando invece non sono lecite.
- Mi aspettavo un flesso verticale per f(x) in 1, dal momento che, dopo aver intersecato l'asse delle ordinate in -e, sale bruscamente verso il suo zero ("1").
- Ho provato a far disegnare la derivata al pc: Lui la disegna solo da 1 a +oo (per motivi che non comprendo), e con un asintoto verticale destro in x=1.
Dunque approfitto per chiedere:
1. Cosa si puo' dire a proposito dell'opportunita' di semplificare durante il calcolo di derivate o di limiti, dal momento che le funzioni che si ottengono in questa maniera non sono perfettamente equivalenti (non solo non lo sono nel punto x_o ma nemmeno nei dintorni di questo punto). Quando si puo' semplificare, e quando no?
2. Perche' i software CAS hanno problemi ad operare con le radici di indice dispari?
3. Vorrei comunque che mi venisse indicata una tecnica per il calcolo del limite per la funzione che ho postato, se possibile.
Molte grazie.
La derivata di amelia e' effettivamente piu' smart, perche', oltre che piu' bella esteticamente, e' definita ovunque e si presta meglio per il calcolo di f''.
La si ottiene semplificando ad un certo punto un (x-1) al numeratore con un $((x-1)^2)^(1/3)$ al denominatore, che io invece avevo deciso di portarmi dietro (ora vi dico xche'..), ottenendo cosi' la derivata che ho postato.
Nel ricercare gli zeri (della mia), avevo risolto l'equazione irrazionale al numeratore ottenendo un polinomio di terzo grado che ha per radici 1,1,28, ma le prime due vanno scartate perche' "1" non appartiene al dominio della funzione.
Avevo scelto di non semplificare perche':
- Non mi e' ancora ben chiaro quando si possono fare queste semplificazioni e quando invece non sono lecite.
- Mi aspettavo un flesso verticale per f(x) in 1, dal momento che, dopo aver intersecato l'asse delle ordinate in -e, sale bruscamente verso il suo zero ("1").
- Ho provato a far disegnare la derivata al pc: Lui la disegna solo da 1 a +oo (per motivi che non comprendo), e con un asintoto verticale destro in x=1.
Dunque approfitto per chiedere:
1. Cosa si puo' dire a proposito dell'opportunita' di semplificare durante il calcolo di derivate o di limiti, dal momento che le funzioni che si ottengono in questa maniera non sono perfettamente equivalenti (non solo non lo sono nel punto x_o ma nemmeno nei dintorni di questo punto). Quando si puo' semplificare, e quando no?
2. Perche' i software CAS hanno problemi ad operare con le radici di indice dispari?
3. Vorrei comunque che mi venisse indicata una tecnica per il calcolo del limite per la funzione che ho postato, se possibile.
Molte grazie.
I tre problemi sono collegati tra di loro. Comincio dal secondo
Generalmente i software hanno delle difficoltà ad operare con le radici ad indice dispari perché l'indice di radice viene tradotto come un esponente reale, la funzione non è più, quindi, una radice, ma diventa una funzione esponenziale ed è definita solo quando la base è positiva.
Per calcolare il limite non ci sono problemi basta semplificare esattamente come ho fatto.
Quando calcoli una derivata ricorda che implicitamente stai calcolando un limite, anche se per comodità applichi la formula, quindi si possono fare tutte le semplificazioni che fai all'interno dei limiti, ovvero l'eliminazione di tutte le discontinuità di terza specie (quelle appunto eliminabili). Il problema principale lo incontri con le radici quadrate, perché semplificando rischi di perdere o modificare il segno. Ricorda, inoltre, che il dominio della derivata non può essere superiore di quello della funzione e nel caso lo sembrasse, come succede nelle derivate di funzioni logartmiche, devi ricordarti di limitarlo tu.
"balnazzar":
2. Perche' i software CAS hanno problemi ad operare con le radici di indice dispari?
Generalmente i software hanno delle difficoltà ad operare con le radici ad indice dispari perché l'indice di radice viene tradotto come un esponente reale, la funzione non è più, quindi, una radice, ma diventa una funzione esponenziale ed è definita solo quando la base è positiva.
"balnazzar":
3. Vorrei comunque che mi venisse indicata una tecnica per il calcolo del limite per la funzione che ho postato, se possibile.
Per calcolare il limite non ci sono problemi basta semplificare esattamente come ho fatto.
"balnazzar":
1. Cosa si puo' dire a proposito dell'opportunita' di semplificare durante il calcolo di derivate o di limiti, dal momento che le funzioni che si ottengono in questa maniera non sono perfettamente equivalenti (non solo non lo sono nel punto x_o ma nemmeno nei dintorni di questo punto). Quando si puo' semplificare, e quando no?
Quando calcoli una derivata ricorda che implicitamente stai calcolando un limite, anche se per comodità applichi la formula, quindi si possono fare tutte le semplificazioni che fai all'interno dei limiti, ovvero l'eliminazione di tutte le discontinuità di terza specie (quelle appunto eliminabili). Il problema principale lo incontri con le radici quadrate, perché semplificando rischi di perdere o modificare il segno. Ricorda, inoltre, che il dominio della derivata non può essere superiore di quello della funzione e nel caso lo sembrasse, come succede nelle derivate di funzioni logartmiche, devi ricordarti di limitarlo tu.
Capisco. E' tutto chiaro, grazie.
Anche se mi fa specie che gli sviluppatori dei vari software non abbiano trovato una maniera per risolvere questo genere di problemi...
Grazie ancora...
Anche se mi fa specie che gli sviluppatori dei vari software non abbiano trovato una maniera per risolvere questo genere di problemi...
Grazie ancora...
"amelia":
..quindi si possono fare tutte le semplificazioni che fai all'interno dei limiti, ovvero l'eliminazione di tutte le discontinuità di terza specie (quelle appunto eliminabili). Il problema principale lo incontri con le radici quadrate, perché semplificando rischi di perdere o modificare il segno.
Mi era sfuggito questo particolare.
In generale, come ci si regola in questi casi?
Si controlla sempre il segno del fattore che si vuole portare dentro ad una radice ed eventualmente si dividono i casi. Ad esmpio per semplificare $(x-1)sqrt((x-5)/(x-1))$ si devono distinguere due casi,
quando $x>=5$ in cui la semplificazione diventa $sqrt((x-5)(x-1))$
e quando $x<1$ in cui risulta $-sqrt((x-5)(x-1))$
Allo stesso modo, se vuoi portare un fattore fuori dalla radice quadrata, o gli lasci il valore assoluto oppure distingui i casi
quando $x>=5$ in cui la semplificazione diventa $sqrt((x-5)(x-1))$
e quando $x<1$ in cui risulta $-sqrt((x-5)(x-1))$
Allo stesso modo, se vuoi portare un fattore fuori dalla radice quadrata, o gli lasci il valore assoluto oppure distingui i casi
"amelia":
Si controlla sempre il segno del fattore che si vuole portare dentro ad una radice ed eventualmente si dividono i casi. Ad esmpio per semplificare $(x-1)sqrt((x-5)/(x-1))$ si devono distinguere due casi,
quando $x>=5$ in cui la semplificazione diventa $sqrt((x-5)(x-1))$
e quando $x<1$ in cui risulta $-sqrt((x-5)(x-1))$
Allo stesso modo, se vuoi portare un fattore fuori dalla radice quadrata, o gli lasci il valore assoluto oppure distingui i casi
Nel primo caso volevi dire $x>=1$ ?
Grazie
No volevo proprio dire $x>=5$, per $1<=x<5$ la funzione non esiste!
"amelia":
No volevo proprio dire $x>=5$, per $1<=x<5$ la funzione non esiste!
Accidenti, e' vero...
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