Derivata di una funzione composta
Non so se i passaggi che faccio per derivare una funzione composta sono giusti.
Per la regola della catena si deriva la funzione più esterna e man mano si moltiplica quella più interna, giusto?
Quindi per derivare ad esempio (3x)^(2x) :
derivata della funzione più esterna:
(derivata di una potenza [2x])
---> 2
moltiplico la derivata della funzione più interna
(derivata di una funzione esponenziale)
---> ln(3x) * (3x)^(2x)
moltiplico la derivata della funzione ancora più interna
(derivata di una potenza [3x])
--->3
il risultato quindi è 2*ln(3x) * (3x)^(2x)*3
Tuttavia il risultato che mi suggerisce la calcolatrice grafica è un altro:
6x*(3x)^(2x-1) + 2*ln(3x) * (3x)^(2x)
Mi sapreste dire dove sbaglio
?
Per la regola della catena si deriva la funzione più esterna e man mano si moltiplica quella più interna, giusto?
Quindi per derivare ad esempio (3x)^(2x) :
derivata della funzione più esterna:
(derivata di una potenza [2x])
---> 2
moltiplico la derivata della funzione più interna
(derivata di una funzione esponenziale)
---> ln(3x) * (3x)^(2x)
moltiplico la derivata della funzione ancora più interna
(derivata di una potenza [3x])
--->3
il risultato quindi è 2*ln(3x) * (3x)^(2x)*3
Tuttavia il risultato che mi suggerisce la calcolatrice grafica è un altro:
6x*(3x)^(2x-1) + 2*ln(3x) * (3x)^(2x)
Mi sapreste dire dove sbaglio
?
Risposte
C'è un trucco per non sbagliarsi con questo tipo di derivate:
\[ f(x) = (3x)^{2x} \]
Facciamo il logaritmo di entrambi i membri:
\[ \ln f(x) = 2x \ln 3x \]
Deriviamo una volta rispetto ad \(x\):
\[ \frac{f'(x)}{f(x)} = 2 \ln 3x + {2} \]
Ovvero:
\[ f'(x) = f(x) \left (2 \ln 3x + 2 \right) = (3x)^{2x} \left (2 \ln 3x + {2} \right) = (3x)^{2x} 2 \ln 3x + 2(3x)^{2x} \]
Quello che fa la calcolatrice grafica è portare fuori un \((3x) \) dall'ultimo termine:
\[ 2(3x)^{2x} = 2 \cdot 3x (3x)^{2x - 1} = 6x (3x)^{2x -1 } \]
Naturalmente, si può usare la regola della catena come hai fatto tu, ma ci si sbaglia facilmente in questi casi.
\[ f(x) = (3x)^{2x} \]
Facciamo il logaritmo di entrambi i membri:
\[ \ln f(x) = 2x \ln 3x \]
Deriviamo una volta rispetto ad \(x\):
\[ \frac{f'(x)}{f(x)} = 2 \ln 3x + {2} \]
Ovvero:
\[ f'(x) = f(x) \left (2 \ln 3x + 2 \right) = (3x)^{2x} \left (2 \ln 3x + {2} \right) = (3x)^{2x} 2 \ln 3x + 2(3x)^{2x} \]
Quello che fa la calcolatrice grafica è portare fuori un \((3x) \) dall'ultimo termine:
\[ 2(3x)^{2x} = 2 \cdot 3x (3x)^{2x - 1} = 6x (3x)^{2x -1 } \]
Naturalmente, si può usare la regola della catena come hai fatto tu, ma ci si sbaglia facilmente in questi casi.
Certamente, questo è un buon metodo per trovare velocemente la derivata di funzioni di quel tipo. Il mio problema però è capire dove sbaglio quando applico la regola della catena. Il risultato che ho ottenuto è simile (con un *3 di troppo) al secondo termine della somma 6x*(3x)^(2x-1) + 2*ln(3x) * (3x)^(2x), solo che vorrei sapere perche' devo aggiungere f(x).
Sul mio libro c'è scritto soltanto (g o f)' (x)= g'(f(x))*f'(x)
Sul mio libro c'è scritto soltanto (g o f)' (x)= g'(f(x))*f'(x)
Secondo me un buon metodo per chi non ha ancora grande dimestichezza è questo ...
Poniamo tu abbia una funzione composta $F(x)=h(g(f(x)))$
... allora porrei $f(x)=a$ per cui $g(f(x))=g(a)=b$ e da cui $h(g(a))=h(b)=c$
... e quindi inizierei a derivare $c'=h'(b)*b'$ e poi $b'=g'(a)*a'$ e quindi $a'=f'(x)$
... ed infine rimetti insieme il tutto ...
A mio parere ...
Cordialmente, Alex
Poniamo tu abbia una funzione composta $F(x)=h(g(f(x)))$
... allora porrei $f(x)=a$ per cui $g(f(x))=g(a)=b$ e da cui $h(g(a))=h(b)=c$
... e quindi inizierei a derivare $c'=h'(b)*b'$ e poi $b'=g'(a)*a'$ e quindi $a'=f'(x)$
... ed infine rimetti insieme il tutto ...
A mio parere ...
Cordialmente, Alex
la regola della catena dice esattamente la stessa cosa.
A me serve però capire dove ho sbagliato nel procedimento
A me serve però capire dove ho sbagliato nel procedimento
Ok, allora riscrivi il tuo procedimento come ho fatto io e vediamo dove potrebbe essere il problema (e con le formule scritte nel modo corretto) ...
Credo che il tuo errore sia considerare una funzione del tipo \( x^x \) come se fosse una funzione \( a^x, \ a >0 \).
Nel secondo caso:
\[ \left (a^x \right)' = \left ( e^{ x \ln a } \right )' = (\ln a) a^{x} \]
Nel primo:
\[ \left (x^x \right)' = \left ( e^{ x \ln x } \right )' =( \ln x ) x^{x} + x^x \]
La regola che hai usato per la derivata di una potenza vale soltanto quando la base è costante.
Nel secondo caso:
\[ \left (a^x \right)' = \left ( e^{ x \ln a } \right )' = (\ln a) a^{x} \]
Nel primo:
\[ \left (x^x \right)' = \left ( e^{ x \ln x } \right )' =( \ln x ) x^{x} + x^x \]
La regola che hai usato per la derivata di una potenza vale soltanto quando la base è costante.
Ok, ci sono arrivato finalmente! grazie mille a tutti per l'aiuto e per i suggerimenti
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