Derivata di una funzione composta
Ciao a tutti, non ho capito come calcolare la derivata di una funzione composta in quanto sono stato assente due lezioni a scuola, conosco le derivate fondamentali e le regole di derivazione.
Dunque l'esercizio che non so come si svolge è questo:
Y= $((1-2x)^2)/(x)$
Devo trovare la derivata prima di questa funzione ( è composta?), il quadrato dentro la parentesi al numeratore va svolto o c'è una formula da applicare? qualcuno è così gentile da spiegarmi passo - passo come trova la derivata?
Grazie.
Sabato ho la verifica e devo capire bene questo argomento
Dunque l'esercizio che non so come si svolge è questo:
Y= $((1-2x)^2)/(x)$
Devo trovare la derivata prima di questa funzione ( è composta?), il quadrato dentro la parentesi al numeratore va svolto o c'è una formula da applicare? qualcuno è così gentile da spiegarmi passo - passo come trova la derivata?
Grazie.
Sabato ho la verifica e devo capire bene questo argomento
Risposte
Prova a ragionare così: la prima cosa che noti è che $ f(x)=(1-2x)^2/(x) $ è un rapporto di funzioni, quindi applico la formula di derivazione per rapporti cioè $ D((a(x))/(b(x)))=(D(a(x))*b(x)-a(x)*D(b(x)))/(b^2(x)) $ .
Nel tuo caso $ a(x)=(1-2x)^2 $ e $ b(x)=x $, quindi $ f'(x)=D(((1-2x)^2)/(x))=(D((1-2x)^2)*x-(1-2x)^2*D(x))/(x^2) $.
Ora $ D(x)=1 $, mentre $ D((1-2x)^2) $ è la derivata di una funzione composta del tipo $ (g(x))^2 $ e $ D((g(x))^2) $ è $ 2g(x)*g'(x) $ (sono tutte formule che trovi nella teoria). Nel tuo caso $ g(x)=1-2x $ e $ D((1-2x)^2)=2(1-2x)*D(1-2x)=2(1-2x)*(-2) $ .
A questo punto torniamo all'espressione che abbiamo lasciato e $ f'(x)=(-4(1-2x)*x-(1-2x)^2)/(x^2)=... $
Nel tuo caso $ a(x)=(1-2x)^2 $ e $ b(x)=x $, quindi $ f'(x)=D(((1-2x)^2)/(x))=(D((1-2x)^2)*x-(1-2x)^2*D(x))/(x^2) $.
Ora $ D(x)=1 $, mentre $ D((1-2x)^2) $ è la derivata di una funzione composta del tipo $ (g(x))^2 $ e $ D((g(x))^2) $ è $ 2g(x)*g'(x) $ (sono tutte formule che trovi nella teoria). Nel tuo caso $ g(x)=1-2x $ e $ D((1-2x)^2)=2(1-2x)*D(1-2x)=2(1-2x)*(-2) $ .
A questo punto torniamo all'espressione che abbiamo lasciato e $ f'(x)=(-4(1-2x)*x-(1-2x)^2)/(x^2)=... $
Ok, grazie mille dell'aiuto, questo l'ho capito.
Mentre se ho più funzioni una dentro l'altra come in questo esercizio
Y=[tex]\ln\cos senx^3[/tex]
Faccio prima il logaritmo naturale che diventa $(1)/(cossenx^3)*-sensenx^3$ (moltiplicato per la derivata dell'argomento del logaritmo) fin qui è giusto? poi devo derivare il $cos$ e il suo argomento, il $sen$ e l'argomento $x^3$
è così che si procede o sto sbagliando tutto?
Grazie
Mentre se ho più funzioni una dentro l'altra come in questo esercizio
Y=[tex]\ln\cos senx^3[/tex]
Faccio prima il logaritmo naturale che diventa $(1)/(cossenx^3)*-sensenx^3$ (moltiplicato per la derivata dell'argomento del logaritmo) fin qui è giusto? poi devo derivare il $cos$ e il suo argomento, il $sen$ e l'argomento $x^3$
è così che si procede o sto sbagliando tutto?
Grazie
$ln(cos(sin(x^3)))$ si può vedere come $φ(x)=f(g(h(z(x))))$
$φ'(x)=f'(g(h(z(x))))*g'(h(z(x)))*h'(z(x))*z'(x)$
passando alla nostra:
$φ'(x)=1/(cos(sin(x^3)))*(-sin(sin(x^3)))*cos(x^3)*3x^2$
$φ'(x)=f'(g(h(z(x))))*g'(h(z(x)))*h'(z(x))*z'(x)$
passando alla nostra:
$φ'(x)=1/(cos(sin(x^3)))*(-sin(sin(x^3)))*cos(x^3)*3x^2$
"alex27riva":
Faccio prima il logaritmo naturale che diventa $(1)/(cossenx^3)*-sensenx^3$ (moltiplicato per la derivata dell'argomento del logaritmo) fin qui è giusto? poi devo derivare il $cos$ e il suo argomento, il $sen$ e l'argomento $x^3$
è così che si procede o sto sbagliando tutto?
Grazie
Sì, è corretto. Quando devi derivare una cosa del genere pensa di procedere dall'esterno verso l'interno derivando le funzioni che ti trovi davanti: prima il logaritmo (che ha derivata "uno sull'argomento"), poi il coseno (che ha derivata "seno dell'argomento") e così via...
Formalmente è esattamente quello che ha scritto anto_zoolander.
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