Derivata di una funzione composta
Ciao a tutti oggi ci hanno spiegato a scuola la derivata della funzione composta ma non ho ben capito una cosa... ho provato a fare degli esercizi e mi sono ritrovato davanti a questo esercizio:
$root(2)(log(x^2+4))$ Non capisco perché qui le funzioni sono 3 e la regola mi dice $Df[g(x)]= f'[g(x)]g'x$ e io non capisco perché qua la f dovrebbe essere la radice e la g il logaritmo e poi con l'argomento del logaritmo perché il libro ci esegue una derivata non capisco...
In un'altro esercizio invece dovevo fare la derivata $ln(lnx)$ Quindi dovrei fare la derivata del ln che viene $1/lnx$ che moltiplica il $lnx$ che a sua volta moltiplica la derivata di $lnx$ cioè a me viene $(1/lnx)lnx(1/x)$ mentre il libro non mette il $lnx$ non capisco ..
$root(2)(log(x^2+4))$ Non capisco perché qui le funzioni sono 3 e la regola mi dice $Df[g(x)]= f'[g(x)]g'x$ e io non capisco perché qua la f dovrebbe essere la radice e la g il logaritmo e poi con l'argomento del logaritmo perché il libro ci esegue una derivata non capisco...
In un'altro esercizio invece dovevo fare la derivata $ln(lnx)$ Quindi dovrei fare la derivata del ln che viene $1/lnx$ che moltiplica il $lnx$ che a sua volta moltiplica la derivata di $lnx$ cioè a me viene $(1/lnx)lnx(1/x)$ mentre il libro non mette il $lnx$ non capisco ..
Risposte
Ciao, partiamo dalla prima: effettivamente le funzioni sono tre. Segui i passaggi: $$x \rightarrow x^2+4 \rightarrow \log\left(x^2+4\right) \rightarrow \sqrt{\log\left(x^2+4\right)}$$ Quindi hai elevamento al quadrato, logaritmo e radice. Ora per derivare parti dall'esterno e derivi la radice, poi il logaritmo e poi il quadrato: $$\frac{1}{2\sqrt{\cdots}}\cdot\frac{1}{x^2+4}\cdot 2x$$ Tutto chiaro?
Non mi è chiara una cosa la regola dice $Df[g(x)]=f′[g(x)]g′x$ quindi quello che non capisco è quando dice la derivata di
$f′[g(x)]$ intende la derivata della funzione non che derivo la f fuori e la moltiplico per g(x)?
Perché ad esempio la $Dcos(x^2+4x)$ mi viene $-sen(x^2+4x)(2x+4)$ cioè ho derivato la funzione più esterna l'ho moltiplicata per la seconda e poi le ho moltiplicate per la seconda funzione derivata...
$f′[g(x)]$ intende la derivata della funzione non che derivo la f fuori e la moltiplico per g(x)?
Perché ad esempio la $Dcos(x^2+4x)$ mi viene $-sen(x^2+4x)(2x+4)$ cioè ho derivato la funzione più esterna l'ho moltiplicata per la seconda e poi le ho moltiplicate per la seconda funzione derivata...
Non le hai moltiplicate per la seconda, tra $sen$ e $x^2+4x$ non c'è un prodotto. Il seno lo hai calcolato nella funzione più interna, ossia, appunto, $x^2+4x$.
Ah ok ora ho capito e senti un'altra cosa se ho $1/2e^(2x)cosx$ se devo fare la derivata faccio la derivata di un prodotto? e va bene se mi viene $1/2e^(2x)(2cosx-2senx)$
C'è un $2$ di troppo davanti al seno. La derivata corretta è $$\frac{1}{2}\left(2e^{2x}\cos x - e^{2x}\sin x\right)$$
perché?
Sei tu che dovresti spiegare perchè hai messo quel $2$ 
. La derivata corretta è quella di minomic!
. La derivata corretta è quella di minomic!
Se io faccio la derivata del prodotto mi viene $1/2e^(2x)cosx - 1/2e^(2x)(senx)$ quindi se raccolgo 1/2 mi viene $1/2e^(2x)(cosx-senx)$ no?
Se io faccio la derivata del prodotto mi viene $1/2e^(2x)cosx - 1/2e^(2x)(senx)$ quindi se raccolgo 1/2 mi viene $1/2e^(2x)(cosx-senx)$ no?
$D(1/2e^(2x)cosx)=D(1/2e^(2x))*cosx+1/2e^(2x)*D(cosx)=1/2e^(2x)*D(2x)*cosx+1/2e^(2x)*(-sinx)=$
$=1/2e^(2x)*2*cosx-1/2e^(2x)*sinx=1/2e^(2x)*(2cosx-sinx)$
$=1/2e^(2x)*2*cosx-1/2e^(2x)*sinx=1/2e^(2x)*(2cosx-sinx)$
"Nicholas_ASR":
Se io faccio la derivata del prodotto mi viene $1/2e^(2x)cosx - 1/2e^(2x)(senx)$ quindi se raccolgo 1/2 mi viene $1/2e^(2x)(cosx-senx)$ no?
No, nel coseno ti manca il $2$ che è la derivata dell'esponente della $e$.
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