Derivata di una funzione

lorenzom971 · 2015-12-16CET18:49:51+01:00

"Salve a tutti,\nsono uno studente del 5 superiore, e ho fatto da qualche giorno un compito sulle derivate. All'inizio del compito vi era un esercizio, nel quale bisognava trovare la derivata di una funzione tramite la definizione di derivata (limite del rapporto incrementale); la funzione era:\n\n$f(x) = 1 - 3 sin(x)$\n\nallora io ho applicato il limite: \n\n$\\lim_{h -> 0} \\frac{1-3 sin(x+h)-1+3 sin(x)}{h} = -3 * lim_{h->0} \\frac{sin(x)cos(h)+sin(h)cos(x)-sin(x)}{h}$\n\nallora a questo punto, visto che $\\lim_{h->0}cos(h)=1$, il limite diventa: $-3 * lim_{h->0} \\frac{sin(x)+sin(h)cos(x)-sin(x)}{h}$\n\n$\\ = -3 * lim_{h->0} \\frac{sin(h)cos(x)}{h} = -3cos(x)$\n\nLa professoressa mi ha segnato l'esercizio come sbagliato perch\u00e9, secondo lei, invece di eliminare il $cos(h)$ (risolvendolo) avrei dovuto far diventare il limite come:\n\n$-3 * lim_{h->0} \\frac{sin(x) ( cos(h) - 1) + sin(h)cos(x)}{h}$, per ritrovarmi il limite notevole $\\frac{1-cos(h)}{h}$.\n\nMi diceva che il limite non si pu\u00f2 risolvere \"a pezzi\" (cit.).\nNon \u00e8 che mi potete spiegare meglio perch\u00e9 il mio procedimento \u00e8 sbagliato?\nGrazie per l'attenzione"

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lorenzom971

16 dic 2015, 18:49

Salve a tutti,
sono uno studente del 5 superiore, e ho fatto da qualche giorno un compito sulle derivate. All'inizio del compito vi era un esercizio, nel quale bisognava trovare la derivata di una funzione tramite la definizione di derivata (limite del rapporto incrementale); la funzione era:

$f(x) = 1 - 3 sin(x)$

allora io ho applicato il limite:

$\lim_{h -> 0} \frac{1-3 sin(x+h)-1+3 sin(x)}{h} = -3 * lim_{h->0} \frac{sin(x)cos(h)+sin(h)cos(x)-sin(x)}{h}$

allora a questo punto, visto che $\lim_{h->0}cos(h)=1$, il limite diventa: $-3 * lim_{h->0} \frac{sin(x)+sin(h)cos(x)-sin(x)}{h}$

$\ = -3 * lim_{h->0} \frac{sin(h)cos(x)}{h} = -3cos(x)$

La professoressa mi ha segnato l'esercizio come sbagliato perché, secondo lei, invece di eliminare il $cos(h)$ (risolvendolo) avrei dovuto far diventare il limite come:

$-3 * lim_{h->0} \frac{sin(x) ( cos(h) - 1) + sin(h)cos(x)}{h}$, per ritrovarmi il limite notevole $\frac{1-cos(h)}{h}$.

Mi diceva che il limite non si può risolvere "a pezzi" (cit.).
Non è che mi potete spiegare meglio perché il mio procedimento è sbagliato?
Grazie per l'attenzione