Derivata di e
Salve, nella risoluzione di un esercizio dove chiede il valore di massimo e minimo di una funzione nel suo campo di esistenza ho pensato di trovare la derivata prima per vedere dove la funzione è crescente e decrescente e quindi ricava il max e min; ma mi sono imbattuto in un problema nel seguente calcolo:
$f(x)=acrsin^2(e^x - e^-x)$
$D f(x) = (1/sqrt(1-x^2))^2 *(e^x - e^-x)$ il problema è che -> $D e^x = e^x$ e $De^-x = ??$
potrei trasformare $e^-x$ in $1/e^x$ e la derivata sarebbe $=1/e^x$?
Grazie Mille a tutti!
$f(x)=acrsin^2(e^x - e^-x)$
$D f(x) = (1/sqrt(1-x^2))^2 *(e^x - e^-x)$ il problema è che -> $D e^x = e^x$ e $De^-x = ??$
potrei trasformare $e^-x$ in $1/e^x$ e la derivata sarebbe $=1/e^x$?
Grazie Mille a tutti!
Risposte
Segui la definizione:
[tex]D(e^{-x})=[\text{funzione composta}]=-e^{-x}[/tex]
[tex]D(e^{-x})=[\text{funzione composta}]=-e^{-x}[/tex]
sei sicuro che la derivata sia quella?
Grazie! 
quindi avrei $(e^x+e^-x)/(1-x^2)>0$ e ora devo risolvere questa disequazione
allora il denominatore ha soluzione: $x<-1 ^^ x>+1$ e invece per il numeratore come porto giù le $x$?
avrei bisogno di un suggerimento...
Grazie per tutto!
edit: itpareid credo sia corretto: $D arcsin = 1/sqrt(1-x^2)$ e $De^x=e^x$
quindi avrei $(e^x+e^-x)/(1-x^2)>0$ e ora devo risolvere questa disequazione
allora il denominatore ha soluzione: $x<-1 ^^ x>+1$ e invece per il numeratore come porto giù le $x$?
avrei bisogno di un suggerimento...
Grazie per tutto!
edit: itpareid credo sia corretto: $D arcsin = 1/sqrt(1-x^2)$ e $De^x=e^x$
occhio che è una funzione composta...
"itpareid":
occhio che è una funzione composta...
ti riferisci a $e^x+e^-x>0$?
no, a $arcsin^2(e^x-e^{-x})$
si l'ho notato che f(x) è composta, la dovrei scindere e risolvere separatamente?
Grazie.
Grazie.
devi applicare la regola per le derivate composte...
"itpareid":
devi applicare la regola per le derivate composte...
Grazie Mille per la dritta, procedo così:
$f(x)=g(x)^2[h(x) - u(x)]$ dove $g(x)=arcsin x$, $h(x)=e^x$ e $u(x)=e^-x$; sviluppando le derivate delle funzioni composte ottengo:
usando le seguenti regole:
, 
$-> f'(x) =2 arcsin x* 1/sqrt(1-x^2)*(e^x+e^-x)$
è corretto il ragionamento che ho seguito?
però in questa forma non so risolvere $f('x)>0$ per trovare dove è crescente e decrescente in modo da poter trovare il max e min, e non vedo come posso semplificarla.
Temo di aver bisogno di un altro aiuto
Grazie!
mi pare che siano sbagliati gli argomenti dell'arcoseno e l'$x$ sotto radice (entrambi devono essere $e^x-e^{-x}$)
ora devi risolvere $(arcsin(e^x-e^{-x}))*(e^x+e^{-x})=0$
ora devi risolvere $(arcsin(e^x-e^{-x}))*(e^x+e^{-x})=0$
"itpareid":
mi pare che siano sbagliati gli argomenti dell'arcoseno e l'$x$ sotto radice (entrambi devono essere $e^x-e^{-x}$)
ora devi risolvere $(arcsin(e^x-e^{-x}))*(e^x+e^{-x})=0$
non capisco, ho applicato le regole alla lettera stando attento. ma come sei arrivato a questo risultato?
comunque ci lavoro un pò su e ti faccio sapere.
Grazei ancora per l'aiuto!
se per esempio derivi $f(x)=(x+1)^2$ ottieni $f'(x)=2(x+1)$ e non $f'(x)=2x$, nel senso che quando fai una derivata di funzione composta devi mantenere l'argomento originale quando fai la derivata della funzione più "esterna"...detto in parole brutali ma spero chiare 
si sei stato chiaro e ti ringrazio, ma devi scusarmi se continuo a non arrivare al tuo risultato,
ho provato così: avendo $arcsin^2(e^x-e^-x)$ la considero $f(x)=g(x)^2$ dove $g(x)=arcsin(h(x)-u(x))$, $h(x)=e^x$, $u(x)=e^-x$
e facendo le derivate: $f'(x)=2g(x)$ , $ g'(x)=(h(x)-u(x))/sqrt(1-x^2)$ , $h'(x)=e^x, u'(x)=-e^-x$
sostituendo: $2*((e^x+e^-x)/sqrt(1-x^2))>0$ che non so risolvere per trovare la x 
ho provato così: avendo $arcsin^2(e^x-e^-x)$ la considero $f(x)=g(x)^2$ dove $g(x)=arcsin(h(x)-u(x))$, $h(x)=e^x$, $u(x)=e^-x$
e facendo le derivate: $f'(x)=2g(x)$ , $ g'(x)=(h(x)-u(x))/sqrt(1-x^2)$ , $h'(x)=e^x, u'(x)=-e^-x$
sostituendo: $2*((e^x+e^-x)/sqrt(1-x^2))>0$ che non so risolvere per trovare la x
C'è ancora un errore, l'argomento dell'arcoseno non è $x$, ma $e^x-e^(-x)$
Grazie per la correzione!
credo di aver capito, procedo così: $y=arcsin^2(e^x-e^-x)$
$t = e^x-e^-x$, $u = arcsin t$, $y=u^2$
$t'=e^x+e^-x$, $u'=1/sqrt(1+t^2)$, $y'=2u*u'$
sostituendo: $y'=2arcsin(e^x-e^-x)*1/sqrt(1+(e^x+e^-x)^2)$
proverò a semplificare appena ho tempo (la vedo dura ricavare la x da $y'>0$ ), vi prego di confermarmi se è corretto o meno.
Grazie ad entambi!
credo di aver capito, procedo così: $y=arcsin^2(e^x-e^-x)$
$t = e^x-e^-x$, $u = arcsin t$, $y=u^2$
$t'=e^x+e^-x$, $u'=1/sqrt(1+t^2)$, $y'=2u*u'$
sostituendo: $y'=2arcsin(e^x-e^-x)*1/sqrt(1+(e^x+e^-x)^2)$
proverò a semplificare appena ho tempo (la vedo dura ricavare la x da $y'>0$
), vi prego di confermarmi se è corretto o meno.Grazie ad entambi!
Se esegui correttamente la sostituzione che tu stesso hai indicato la derivata diventa
$y'=2arcsin(e^x-e^-x)*1/sqrt(1+(e^x-e^-x)^2)*(e^x+e^-x)$
$y'=2arcsin(e^x-e^-x)*1/sqrt(1+(e^x-e^-x)^2)*(e^x+e^-x)$
Grazie Infinite per la correzione! 
ho sbagliato sotto radice, ho preso $t'$ al posto di $t$; la derivata di y mi viene $y'=2u*u'$ e non $y'=2u*u'*t'$, hai usato $D[f(g(x))]=f'(g(x))*g'(x)$?
comunque risolvendo, arrivato a questo punto $y'=(2arcsin(e^x-e^-x)*(e^x+e^-x))/sqrt(1+(e^x-e^-x)^2) >0$ non conosco alcun metodo per risolvere questa disequazione; penso proprio di lasciar perdere .
Grazie e tutti per l'aiuto!
ho sbagliato sotto radice, ho preso $t'$ al posto di $t$; la derivata di y mi viene $y'=2u*u'$ e non $y'=2u*u'*t'$, hai usato $D[f(g(x))]=f'(g(x))*g'(x)$?
comunque risolvendo, arrivato a questo punto $y'=(2arcsin(e^x-e^-x)*(e^x+e^-x))/sqrt(1+(e^x-e^-x)^2) >0$ non conosco alcun metodo per risolvere questa disequazione; penso proprio di lasciar perdere
.Grazie e tutti per l'aiuto!
(2arcsin(e^x-e^-x)*(e^x+e^-x))/sqrt(1+(e^x-e^-x)^2) >0$
Il denominatore è sempre positivo, il fattore $e^x+e^(-x)$ anche, resta solo da studiare il segno di $arcsin(e^x-e^-x)$, quindi
$arcsin(e^x-e^-x>=0)$ l'arcoseno assume valori compresi tra $-pi/2$ e $pi/2$ ed è positivo quando il seno assume valori compresi tra 0 e 1, quindi
$0<=e^x-e^-x<=1)$
Il denominatore è sempre positivo, il fattore $e^x+e^(-x)$ anche, resta solo da studiare il segno di $arcsin(e^x-e^-x)$, quindi
$arcsin(e^x-e^-x>=0)$ l'arcoseno assume valori compresi tra $-pi/2$ e $pi/2$ ed è positivo quando il seno assume valori compresi tra 0 e 1, quindi
$0<=e^x-e^-x<=1)$
Non so come ringraziarti @melia, ho capito perfettamente il procedimento!
e deduco che $min=0$ e $max=1$
Grazie ancora per tutto l'aiuto che mi hai dato! Ciao
e deduco che $min=0$ e $max=1$
Grazie ancora per tutto l'aiuto che mi hai dato!
Ciao
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