Derivata del modulo

[kekko989]

è sempre vero che non esiste la derivata di un modulo quando esso si annulla, perchè il limite sinistro e destro della derivata in quel punto sono diversi?E che siamo in presenza,in quel punto,di un punto angoloso?

[codino75]

direi di no, per esempio :
$|x^2|$ e' derivabile in x=0
ovviamente e' un caso banale... e poco significativo.
attendo generalizzazioni...
alex

[cozzataddeo]

Altro esempio, appena un po' meno banale:

$y=|x^3|$

che equivale a

$ y = x^3$ per $x >= 0$
$ y = -x^3$ per $x < 0$

ed è $y(0) = 0$.

La derivata prima quindi risulta

$y' = 3x^2$ per $x > 0$
$y' = -3x^2$ per $x < 0$

ed è

$ y'(0^-) = y'(0^+) = 0$

perciò la funzione è definita e derivabile su tutto $RR$.

[kekko989]

ok.. ma per esempio sempre considerando $|x^3|$

$y'' = 6x$ per $x >0$
$y'' = -6x$ per $x <0$

e

$y''' = 6$ per $x >0$
$y''' = -6$ per $x <0$

Questo cosa significa? con il metodo delle derivate successive, che in $(0-)$ c'è un flesso discendente e in $(0+)$ un flesso ascendente.. e quindi? c'è la derivata in x=0? quanto vale??
ps: dal disegno sembra una parabola con vertice in x=0..cm mai?

[codino75]

$|x^3|$ e' derivabile in x=0 e la derivata vale 0.
e' simile ad una parabola ma e' "piu' piatta" in x=0

[Russell1]

Posto soltanto un modo alternativo per calcolare la "derivata di un modulo"

Consideriamo il campo $RR$ dei numeri reali.

Sia $a \in RR$ tale che $a>=0$. Se è così esiste un unico $b \in RR$ tale che $b>=0$ e $b^2=a$ (tutto ciò va dimostrato).
Dal momento che è unico, diamo a questo $b$ un simbolo privilegiato, che è $\sqrt(a)$

Si dimostra molto facilmente che, per ogni $x \in RR$, $|a|=\sqrt(a^2)$.

Quindi, ad esempio, sia $f(x):=|x^2-3|=\sqrt((x^3-3)^2)$.
Derivando la radice si ottiene la derivata del modulo.

E' comunque molto più educativo distinguere i due casi...