Derivata con limite del rapporto incrementale
Come posso raccogliere il numeratore nel limite del rapporto incrementale di $ ln(1-x^3) $, affinché il risultato sia $ (-3x^2)/(1-x^3) $ ? È corretto applicare la proprietà del logaritmo per avere $ ln((1-(x+h)^3)/(1-x^3)) $ ?
Risposte
Hai che il rapporto incrementale di \( \frac{ \Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{f(x+h)- f(x)}{h} \), nel tuo caso \( f(x) = \ln(1-x^3) \) perciò
\[ \frac{ \ln(1-(x+h)^3) - \ln(1-x^3)}{h} = \frac{ \ln \left( \frac{1-(x+h)^3}{1-x^3}\right)}{h} \]
Ora hai che
\[ \frac{1-(x+h)^3}{1-x^3} = \frac{1-x^3 +x^3-(x+h)^3}{1-x^3} = 1 + \frac{x^3-(x+h)^3}{1-x^3} \]
Dunque
\[ \frac{ \ln \left( \frac{1-(x+h)^3}{1-x^3}\right)}{h} = \frac{1}{h} \ln\left( 1 + \frac{x^3-(x+h)^3}{1-x^3} \right) \]
Ora hai che
\[ \frac{x^3-(x+h)^3}{1-x^3} = -\frac{h^3}{1-x^3} - \frac{3xh^2}{1-x^3} - \frac{3hx^2}{1-x^3} \]
pertanto per usare il limite notevole
\[ \lim_{ x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{f(x)} \right)^{f(x)} = e \]
dunque abbiamo moltiplichiamo per \(1\) in modo intelligente. E otteniamo
\[ \lim_{h \to 0} \frac{x^3-(x+h)^3}{1-x^3} \cdot \frac{1}{h} \ln\left( 1 + \frac{x^3-(x+h)^3}{1-x^3} \right)^{\frac{1-x^3}{x^3-(x+h)^3} } \]
Ora abbiamo che
\[ \lim_{h \to 0} \frac{x^3-(x+h)^3}{1-x^3} \cdot \frac{1}{h} \]
e
\[ \lim_{h \to 0} \ln\left( 1 + \frac{x^3-(x+h)^3}{1-x^3} \right)^{\frac{1-x^3}{x^3-(x+h)^3} } \]
esistono entrambi pertanto
\[ \lim_{h \to 0} \frac{x^3-(x+h)^3}{1-x^3} \cdot \frac{1}{h} \ln\left( 1 + \frac{x^3-(x+h)^3}{1-x^3} \right)^{\frac{1-x^3}{x^3-(x+h)^3} } \]
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{x^3-(x+h)^3}{1-x^3} \cdot \frac{1}{h} \cdot \lim_{h \to 0} \ln\left( 1 + \frac{x^3-(x+h)^3}{1-x^3} \right)^{\frac{1-x^3}{x^3-(x+h)^3} } \]
\[ = \lim_{h \to 0} \left( -\frac{h^2}{1-x^3} - \frac{3xh}{1-x^3} - \frac{3x^2}{1-x^3} \right) \cdot \ln \left( \lim_{h \to 0} \left( 1 + \frac{x^3-(x+h)^3}{1-x^3} \right)^{\frac{1-x^3}{x^3-(x+h)^3} } \right) \]
\[ = - \frac{3x^2}{1-x^3} \cdot \ln e = - \frac{3x^2}{1-x^3} \]
\[ \frac{ \ln(1-(x+h)^3) - \ln(1-x^3)}{h} = \frac{ \ln \left( \frac{1-(x+h)^3}{1-x^3}\right)}{h} \]
Ora hai che
\[ \frac{1-(x+h)^3}{1-x^3} = \frac{1-x^3 +x^3-(x+h)^3}{1-x^3} = 1 + \frac{x^3-(x+h)^3}{1-x^3} \]
Dunque
\[ \frac{ \ln \left( \frac{1-(x+h)^3}{1-x^3}\right)}{h} = \frac{1}{h} \ln\left( 1 + \frac{x^3-(x+h)^3}{1-x^3} \right) \]
Ora hai che
\[ \frac{x^3-(x+h)^3}{1-x^3} = -\frac{h^3}{1-x^3} - \frac{3xh^2}{1-x^3} - \frac{3hx^2}{1-x^3} \]
pertanto per usare il limite notevole
\[ \lim_{ x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{f(x)} \right)^{f(x)} = e \]
dunque abbiamo moltiplichiamo per \(1\) in modo intelligente. E otteniamo
\[ \lim_{h \to 0} \frac{x^3-(x+h)^3}{1-x^3} \cdot \frac{1}{h} \ln\left( 1 + \frac{x^3-(x+h)^3}{1-x^3} \right)^{\frac{1-x^3}{x^3-(x+h)^3} } \]
Ora abbiamo che
\[ \lim_{h \to 0} \frac{x^3-(x+h)^3}{1-x^3} \cdot \frac{1}{h} \]
e
\[ \lim_{h \to 0} \ln\left( 1 + \frac{x^3-(x+h)^3}{1-x^3} \right)^{\frac{1-x^3}{x^3-(x+h)^3} } \]
esistono entrambi pertanto
\[ \lim_{h \to 0} \frac{x^3-(x+h)^3}{1-x^3} \cdot \frac{1}{h} \ln\left( 1 + \frac{x^3-(x+h)^3}{1-x^3} \right)^{\frac{1-x^3}{x^3-(x+h)^3} } \]
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{x^3-(x+h)^3}{1-x^3} \cdot \frac{1}{h} \cdot \lim_{h \to 0} \ln\left( 1 + \frac{x^3-(x+h)^3}{1-x^3} \right)^{\frac{1-x^3}{x^3-(x+h)^3} } \]
\[ = \lim_{h \to 0} \left( -\frac{h^2}{1-x^3} - \frac{3xh}{1-x^3} - \frac{3x^2}{1-x^3} \right) \cdot \ln \left( \lim_{h \to 0} \left( 1 + \frac{x^3-(x+h)^3}{1-x^3} \right)^{\frac{1-x^3}{x^3-(x+h)^3} } \right) \]
\[ = - \frac{3x^2}{1-x^3} \cdot \ln e = - \frac{3x^2}{1-x^3} \]
Grazie infinite per la risposta chiara e precisa, volevo solo chiederti: quando hai aggiunto e sottratto la stessa quantità, ($ x^3 $), c'è un modo per capirlo o sorge per particolare intuito?
Intendi questo passaggio?
Se sì, beh l'unica parte in cui l'intuito, o meglio l'esperienza, gioca un ruolo sta nel volersi ricondurre al limite notevole \( \lim_{f(x) \to \pm \infty} \left( 1 + \frac{1}{f(x)} \right)^{f(x)} = e \) perché avendo il logaritmo naturale (spesso con i logaritmi usi questo limite notevole) posso sbarazzarmene avendo poi \( \ln e =1 \).
Così volevo trasformare
\[ \frac{1-(x+h)^3}{1-x^3} \]
in qualcosa tipo
\[ 1 + \frac{1}{f(x,h)} \]
Per farlo basta scomporre il problema in piccoli sotto-problemi, avendo una frazione \( \frac{a}{b} \) se voglio trasformarla in \( 1 + \frac{c}{b} \) basta fare \(\frac{a}{b}= \frac{b-b+a}{b} = \frac{b}{b}+ \frac{-b+a}{b} \). Il principio è il medesimo.
Quindi inizialmente noto che parto da una frazione \( \frac{\text{qualcosa}}{1-x^3} \), e mi interessa solo il denominatore, nel nostro caso \( 1-x^3 \), e aggiungendo \(0\) (sommando e sottraendo una stessa quantità) voglio ottenere anche a numeratore \(1-x^3\).
Così da avere
\[ \frac{\text{qualcosa}}{1-x^3} = \frac{1-x^3 + \text{qualcosa d'altro}}{1-x^3} = 1 + \frac{\text{qualcosa d'altro}}{1-x^3} \]
Quindi guardo il numeratore che è \( 1-(x+h)^3 = \text{qualcosa} \) e noto che per ottenere \(1-x^3\) mi basta togliere \(x^3 \) ma siccome non voglio cambiare la quantità e mantenere il segno di uguaglianza allora aggiungo \(x^3\) e ottengo giustappunto \( 1-x^3 + x^3 -(x+h)^3 \), dove \( x^3 - (x+h)^3 = \text{qualcosa d'altro} \)
Ora mi sono ricondotto alla forma che volevo, ovvero
\[1 + \frac{x^3-(x+h)^3}{1-x^3} = 1 + \frac{1}{f(x,h)} \]
Per applicare il limite notevole devo però controllare che quando \(h \to 0 \) allora \( f(x,h) \to \pm \infty \) che è effettivamente il nostro caso poiché
\[ f(x,h) = \frac{1-x^3}{x^3-(x+h)^3} \]
Quindi abbiamo che
\[ \lim_{ h \to 0 } \left( 1 + \frac{1}{f(x,h)} \right)^{f(x,h)} =\lim_{ f(x,h) \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{f(x,h)} \right)^{f(x,h)} = e \]
NB: spesso in matematica quando scrivi qualcosa in un certo ordine in realtà lo pensi in un altro ordine
Nel senso che io ho pensato prima a dove volevo arrivare \( (1+ \frac{1}{f(x)}) \) e poi ho fatto le cose per arrivarci (manipolare l'espressione che ho per arrivare al mio obbiettivo), ma ho scritto prima le cose che ho fatto per arrivare a dove volevo arrivare e poi l'obbiettivo. Può trarre in inganno all'inizio perché uno si dice, ma caspita faccio trick algebrici a caso senza i quali non vedo dove devo arrivare. Invece è proprio l'opposto, ipotizzi, un ipotesi ragionata, che per risolvere un problema devi usare una certa cosa (quel limite notevole), poi manipoli quello che hai per arrivarci e vedi se funziona. Solo che lo scrivi al contrario, scrivi prima le manipolazioni, ma le fai perché hai presente dove vuoi arrivare, non le fai a caso.
Non so se mi sono spiegato in quest'ultima parte
Edit:
Fondamentalmente sapendo che il limite è \(- \frac{3x^2}{1-x^3} \) e nel mio limite ho un logaritmo ho pensato:
Mmmh come mi sbarazzo del logaritmo? Ah sì, c'è quel limite notevole che mi da \(e\), quindi il mio obbiettivo era arrivare a qualcosa tipo
\[ \lim_{h\to 0}- \frac{3x^2}{1-x^3} \ln \left( 1 + \frac{1}{f(x,h)} \right)^{f(x,h)} \]
Mmh il mio logaritmo non ha questa forma però!!
Sotto-problema 1: Va bene non è un problema, proviamo a riscriviamolo così. Concentrandomi solo ad arrivare a quella forma dentro il logaritmo e di nient'altro.
Sotto-problema 1.1: Voglio scrivere \( 1+ \frac{1}{f(x)} \) dentro il logaritmo, senza importarmi del esponente.
Parto da quello che ho che è
\[ \frac{ \ln \left( \frac{1-(x+h)^3}{1-x^3} \right)}{h} \]
Manipolazioni algebriche avendo presente dove voglio arrivare
e ottengo
\[ \frac{ 1}{h} \ln \left( 1 + \frac{1}{f(x,h)} \right)\]
Sotto problema 1.1 risolto.
Sotto problema 1.2: Ora devo ottenere l'esponente in qualche modo
Ora riguardo il mio obbiettivo e noto che mi manca l'esponente dentro il logaritmo
Parto da quello che ho
\[ \frac{ 1}{h} \ln \left( 1 + \frac{1}{f(x,h)} \right)\]
Manipolazioni algebriche e proprietà dei logaritmi avendo presente dove voglio arrivare
\[ \frac{ 1}{h f(x,h)} \ln \left( 1 + \frac{1}{f(x,h)} \right)^{f(x,h)}\]
Sotto problema 1.2 risolto
E sotto-problema 1 risolto
Sotto-problema 2: Mmmh accipicchia!! \( \frac{ 1}{h f(x,h)} \neq - \frac{3x^2}{1-x^3} \)!!
È davvero un problema?? NO!! Perché effettivamente
\[ \lim_{h \to 0} \frac{ 1}{h f(x,h)} = - \frac{3x^2}{1-x^3} \]
Come posso fare? Ah mi basta calcolare i limiti separatamente
\[ \lim_{h \to 0} \frac{1}{h f(x,h)} \]
e
\[ \lim_{h \to 0 } \ln \left( 1 + \frac{1}{f(x,h)} \right)^{f(x,h)} \]
Posso spezzare così i limiti in questo caso? Sì!! Ottimo ho risolto il mio sotto problema 2!
Sotto problema 3: Scriverlo in modo formale
E così ho risolto il problema. Se mi bloccavo da qualche parte, provavo a cambiare approccio, magari il limite notevole non era la strada giusta, magari per vedere qual è la strada giusta dovevo fare qualche manipolazione algebrica prima, provi, e vedi! Con l'esperienza "vedi" qual è il giusto approccio, ma è una cosa che arriva con l'allenamento, perché alleni quell'importantissima skills in matematica che è riconoscere quando un problema sta in una più ampia classe di problemi per cui conosci già un certo metodo che risolvere il problema.
"3m0o":
Ora hai che
\[ \frac{1-(x+h)^3}{1-x^3} = \frac{1-x^3 +x^3-(x+h)^3}{1-x^3} = 1 + \frac{x^3-(x+h)^3}{1-x^3} \]
Se sì, beh l'unica parte in cui l'intuito, o meglio l'esperienza, gioca un ruolo sta nel volersi ricondurre al limite notevole \( \lim_{f(x) \to \pm \infty} \left( 1 + \frac{1}{f(x)} \right)^{f(x)} = e \) perché avendo il logaritmo naturale (spesso con i logaritmi usi questo limite notevole) posso sbarazzarmene avendo poi \( \ln e =1 \).
Così volevo trasformare
\[ \frac{1-(x+h)^3}{1-x^3} \]
in qualcosa tipo
\[ 1 + \frac{1}{f(x,h)} \]
Per farlo basta scomporre il problema in piccoli sotto-problemi, avendo una frazione \( \frac{a}{b} \) se voglio trasformarla in \( 1 + \frac{c}{b} \) basta fare \(\frac{a}{b}= \frac{b-b+a}{b} = \frac{b}{b}+ \frac{-b+a}{b} \). Il principio è il medesimo.
Quindi inizialmente noto che parto da una frazione \( \frac{\text{qualcosa}}{1-x^3} \), e mi interessa solo il denominatore, nel nostro caso \( 1-x^3 \), e aggiungendo \(0\) (sommando e sottraendo una stessa quantità) voglio ottenere anche a numeratore \(1-x^3\).
Così da avere
\[ \frac{\text{qualcosa}}{1-x^3} = \frac{1-x^3 + \text{qualcosa d'altro}}{1-x^3} = 1 + \frac{\text{qualcosa d'altro}}{1-x^3} \]
Quindi guardo il numeratore che è \( 1-(x+h)^3 = \text{qualcosa} \) e noto che per ottenere \(1-x^3\) mi basta togliere \(x^3 \) ma siccome non voglio cambiare la quantità e mantenere il segno di uguaglianza allora aggiungo \(x^3\) e ottengo giustappunto \( 1-x^3 + x^3 -(x+h)^3 \), dove \( x^3 - (x+h)^3 = \text{qualcosa d'altro} \)
Ora mi sono ricondotto alla forma che volevo, ovvero
\[1 + \frac{x^3-(x+h)^3}{1-x^3} = 1 + \frac{1}{f(x,h)} \]
Per applicare il limite notevole devo però controllare che quando \(h \to 0 \) allora \( f(x,h) \to \pm \infty \) che è effettivamente il nostro caso poiché
\[ f(x,h) = \frac{1-x^3}{x^3-(x+h)^3} \]
Quindi abbiamo che
\[ \lim_{ h \to 0 } \left( 1 + \frac{1}{f(x,h)} \right)^{f(x,h)} =\lim_{ f(x,h) \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{f(x,h)} \right)^{f(x,h)} = e \]
NB: spesso in matematica quando scrivi qualcosa in un certo ordine in realtà lo pensi in un altro ordine
Nel senso che io ho pensato prima a dove volevo arrivare \( (1+ \frac{1}{f(x)}) \) e poi ho fatto le cose per arrivarci (manipolare l'espressione che ho per arrivare al mio obbiettivo), ma ho scritto prima le cose che ho fatto per arrivare a dove volevo arrivare e poi l'obbiettivo. Può trarre in inganno all'inizio perché uno si dice, ma caspita faccio trick algebrici a caso senza i quali non vedo dove devo arrivare. Invece è proprio l'opposto, ipotizzi, un ipotesi ragionata, che per risolvere un problema devi usare una certa cosa (quel limite notevole), poi manipoli quello che hai per arrivarci e vedi se funziona. Solo che lo scrivi al contrario, scrivi prima le manipolazioni, ma le fai perché hai presente dove vuoi arrivare, non le fai a caso.
Non so se mi sono spiegato in quest'ultima parte
Edit:
Fondamentalmente sapendo che il limite è \(- \frac{3x^2}{1-x^3} \) e nel mio limite ho un logaritmo ho pensato:
Mmmh come mi sbarazzo del logaritmo? Ah sì, c'è quel limite notevole che mi da \(e\), quindi il mio obbiettivo era arrivare a qualcosa tipo
\[ \lim_{h\to 0}- \frac{3x^2}{1-x^3} \ln \left( 1 + \frac{1}{f(x,h)} \right)^{f(x,h)} \]
Mmh il mio logaritmo non ha questa forma però!!
Sotto-problema 1: Va bene non è un problema, proviamo a riscriviamolo così. Concentrandomi solo ad arrivare a quella forma dentro il logaritmo e di nient'altro.
Sotto-problema 1.1: Voglio scrivere \( 1+ \frac{1}{f(x)} \) dentro il logaritmo, senza importarmi del esponente.
Parto da quello che ho che è
\[ \frac{ \ln \left( \frac{1-(x+h)^3}{1-x^3} \right)}{h} \]
Manipolazioni algebriche avendo presente dove voglio arrivare
e ottengo
\[ \frac{ 1}{h} \ln \left( 1 + \frac{1}{f(x,h)} \right)\]
Sotto problema 1.1 risolto.
Sotto problema 1.2: Ora devo ottenere l'esponente in qualche modo
Ora riguardo il mio obbiettivo e noto che mi manca l'esponente dentro il logaritmo
Parto da quello che ho
\[ \frac{ 1}{h} \ln \left( 1 + \frac{1}{f(x,h)} \right)\]
Manipolazioni algebriche e proprietà dei logaritmi avendo presente dove voglio arrivare
\[ \frac{ 1}{h f(x,h)} \ln \left( 1 + \frac{1}{f(x,h)} \right)^{f(x,h)}\]
Sotto problema 1.2 risolto
E sotto-problema 1 risolto
Sotto-problema 2: Mmmh accipicchia!! \( \frac{ 1}{h f(x,h)} \neq - \frac{3x^2}{1-x^3} \)!!
È davvero un problema?? NO!! Perché effettivamente
\[ \lim_{h \to 0} \frac{ 1}{h f(x,h)} = - \frac{3x^2}{1-x^3} \]
Come posso fare? Ah mi basta calcolare i limiti separatamente
\[ \lim_{h \to 0} \frac{1}{h f(x,h)} \]
e
\[ \lim_{h \to 0 } \ln \left( 1 + \frac{1}{f(x,h)} \right)^{f(x,h)} \]
Posso spezzare così i limiti in questo caso? Sì!! Ottimo ho risolto il mio sotto problema 2!
Sotto problema 3: Scriverlo in modo formale
E così ho risolto il problema. Se mi bloccavo da qualche parte, provavo a cambiare approccio, magari il limite notevole non era la strada giusta, magari per vedere qual è la strada giusta dovevo fare qualche manipolazione algebrica prima, provi, e vedi! Con l'esperienza "vedi" qual è il giusto approccio, ma è una cosa che arriva con l'allenamento, perché alleni quell'importantissima skills in matematica che è riconoscere quando un problema sta in una più ampia classe di problemi per cui conosci già un certo metodo che risolvere il problema.
Ti ringrazio davvero molto per l'esaustività della risposta e per i preziosi consigli, ho tutto chiaro. Spero con l'esperienza di riuscire a maturare nell'affrontare problemi matematici. Buona serata.
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