Derivata

[fu^2]

perchè la derivata è un operatore lineare?

è giusto dire perchè è il coefficiente angolare della retta tg in un punto?
son molto perplesso sulla mia risp....

[amel3]

Beh non proprio, anche se il richiamo all'aspetto geometrico che hai indicato tu giustamente porta ad intuire la linearità della derivata...
Formalmente è molto semplice:
se $f$ e $g$ sono funzioni derivabili e $lambda, mu in RR$, si ha che $lambda f + mu g$ è derivabile e:
$d/dt (lambda f + mu g)=lambda (df)/dt +mu (dg)/dt \ \ \ \ \ \ ($*$)$
Ciò significa che la derivata è un operatore lineare (o se preferisci applicazione lineare) perchè "preserva" le combinazioni lineari, cioè vale (*).

[_Tipper]

Applicando la definizione si vede facilmente questo fatto.

[fu^2]

mmm allora nn mi è chiaro il problema di fondo.. cosa si intende per operatore lineare?

[Camillo]

Un operatore D è lineare se $D [alpha*f(x) +beta*g(x)] = alpha*Df(x)+betaDg(x) $ con $alpha, beta inRR $

Infatti se D è l'operatore di derivazione si ha :

$D[alpha*f(x)+beta*g(x)] = alpha*f'(x)+beta*g'(x) $ per le note proprietà delle derivate.
Anche l'operatore integrazione è lineare .