Derivata
Avrei una domanda da porvi, sentite:
tutte le volte che derivo una funzione, prima o poi arrivo a zero!
Che sia la derivata prima, o la sua successiva, arrivo sempre a zero; c'è qualche funzione che sottoposta a derivazione non dia zero? e qualcuna che invece abbi la tendenza opposta verso infinito?
Mi è sorta per caso, forse esiste da vero qualche funzione di questo tipo? boh?
A voi.
tutte le volte che derivo una funzione, prima o poi arrivo a zero!
Che sia la derivata prima, o la sua successiva, arrivo sempre a zero; c'è qualche funzione che sottoposta a derivazione non dia zero? e qualcuna che invece abbi la tendenza opposta verso infinito?
Mi è sorta per caso, forse esiste da vero qualche funzione di questo tipo? boh?
A voi.
Risposte
per la prima domanda pensa ad e^x ....
per la seconda: per definizione una funzione continua derivabile non può avere derivata pari a infinito.
una funzione si definisce derivabile se esiste FINITO il limite del rapporto incrementale.
ciao.
per la seconda: per definizione una funzione continua derivabile non può avere derivata pari a infinito.
una funzione si definisce derivabile se esiste FINITO il limite del rapporto incrementale.
ciao.
Avevo effettivamente dimenticato che le funzioni derivabili siano un sottoinsieme di quelle continue, per le quali il limite destro e sinistro sono finiti.
Quindi non esistono funzioni derivabili con derivata infinita.
Alla prima domanda soltanto perchè e^x, sotto derivazione da e^x*ln e, quindi e^x, e si ripete sempre il prodotto per 1; grazie wedge, ma mi riferivo a qualcosa di variante, che sottoposto a derivazione cambi sempre valore.
Quindi non esistono funzioni derivabili con derivata infinita.
Alla prima domanda soltanto perchè e^x, sotto derivazione da e^x*ln e, quindi e^x, e si ripete sempre il prodotto per 1; grazie wedge, ma mi riferivo a qualcosa di variante, che sottoposto a derivazione cambi sempre valore.
Se non ti piace l'esponenziale, prova l'esponenziale complesso: $e^(jx)$, oppure, che è lo stesso, con le funzioni trigonometriche seno e coseno.
Certamente se consideri un polinomio ad es. di grado n è chiaro che dopo averlo derivato n+1 volte arrivi ad ottenere 0 !
Pensa a un polinomio di secondo grado :
$ ax^2+bx+c $
derivata prima : $2ax +b $
derivata seconda : $ 2a $
derivata terza : $ 0 $ .
Invece la funzione $ sin x $( oppure cos x ) la derivata non ha mai la funzione nulla ; anzi dopo averla derivata quattro volte si ripresenta identica :
derivata prima = $ cosx $
derivata seconda : $ -sin x $
derivata terza : $ -cos x$
derivata quarta : $ sin x $ e si rincomincia..
Pensa a un polinomio di secondo grado :
$ ax^2+bx+c $
derivata prima : $2ax +b $
derivata seconda : $ 2a $
derivata terza : $ 0 $ .
Invece la funzione $ sin x $( oppure cos x ) la derivata non ha mai la funzione nulla ; anzi dopo averla derivata quattro volte si ripresenta identica :
derivata prima = $ cosx $
derivata seconda : $ -sin x $
derivata terza : $ -cos x$
derivata quarta : $ sin x $ e si rincomincia..
"ganpyixt":
Avevo effettivamente dimenticato che le funzioni derivabili siano un sottoinsieme di quelle continue, per le quali il limite destro e sinistro sono finiti.
Quindi non esistono funzioni derivabili con derivata infinita.
Non c'entra niente il fatto che una funzione derivabile è sempre continua; una funzione $f$ è derivabile in un punto $x$ se e solo se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale, detto dunque derivata prima di $f$ in $x$; la derivata dunque, se esiste, è per forza un numero reale, non può essere $+infty$ o $-infty$.
Viceversa se una funzione ha derivata $n$-esima identicamente nulla in un
intervallo $[a,b]$, allora è un polinomio di grado al più $n-1$
intervallo $[a,b]$, allora è un polinomio di grado al più $n-1$
Già, si ottiene per induzione con una banale applicazione del Th di Lagrange.
"ganpyixt":
Avevo effettivamente dimenticato che le funzioni derivabili siano un sottoinsieme di quelle continue, per le quali il limite destro e sinistro sono finiti.
Scusa nn ho capito bene:
Vorresti dire ke $y=x^2$ è discontinua perkè $lim_(x->+-oo)x^2=+oo$?
Per favore se è così spiegami allora quali sono quelle continue!
"matematicoestinto":
Vorresti dire ke $y=x^2$ è discontinua perkè $lim_(x->+-oo)x^2=0$?
Per favore se è così spiegami allora quali sono quelle continue!
??????????
mi associo al ????
"matematicoestinto":
Vorresti dire ke $y=x^2$ è discontinua perkè $lim_(x->+-oo)x^2=0$?
mi sa che ti sei sbagliato
Ho sbagliato a scrivere e ho editato...
Ma il mio dubbio resta...ke intendi per limite destro e limite sinistro?
Ma il mio dubbio resta...ke intendi per limite destro e limite sinistro?
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