Derivata (26391)

[Manus]

Come faccio a derivare questa funzione? y=xlnx^/ex^ la formula la conosco ma non mi vengono i calcoli potreste darmi una mano?

[Dreke90]

PRIMA COSA:COSA SONO QUEI PEDICI?? XLNX / E^X?QUESTA CHE DEVI DERIVARE?

[Manus]

sarebbe x alla logaritmo naturale di x fratto e alla x

[Dreke90]

hai mai fatto x^x??se nn lo sai te lo spiego io!fammi sapere

[Manus]

Spiegami come si risolve la derivata.....quindi anche x alla x

[the.track]

Dimmi se il testo è questo, tanto per essere sicuri.

[math]\frac{x^{lnx}}{e^x}[/math]

[Manus]

si è questo

[the.track]

Bene allora ora "cataloghiamo" la nostra f(x).

Notiamo che è:

[math]\frac{f(x)}{g(x)}[/math]

Dove a sua volta f(x) è una funzione composta.
Sappiamo che la derivata è:

[math]D \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] =\frac{ f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)}{g^2(x)}[/math]

Aspetta mi è venuto un dubbio. Cerco un po di cose.

[Manus]

non si può mettere in evidenza e alla x al numeratore?

[the.track]

Allora siccome mi è rimasto un dubbio, non ti dico nulla. Se riesco a risolverlo ti faccio sapere subito. Spero veda il problema ciampax. Così te lo risolve senza problemi. :)

Ad ogni modo se ho novità ti aggiorno.

[Dreke90]

secondo i miei calcoli è cosi ((x^lnx e^x)-(x^lnx e^x)/e^2x

cmq x^lnx la sua derivata è: Y'=x^lnx

se nn hai capito il perche ti spiego i pasaggi!

[ciampax]

Prima di tutto conviene trasformare la funzione, altrimenti viene una cosa che non finisce più.

Poiché

[math]x=e^{\log x}[/math]

(per la definizione stessa di logaritmo ed esponenziale) puoi scrivere

[math]x^{\log x}=(e^{\log x})^{\log x}=e^{\log^2 x}[/math]

quindi la funzione da derivare diventa

[math]f(x)=\frac{x^{\log x}}{e^x}=\frac{e^{\log^2 x}}{e^x}=e^{\log^2 x-x}[/math]

e quindi

[math]f'(x)=e^{\log^2 x-x}\cdot(\log^2 x-x)'=e^{\log^2 x-x}\cdot\left(2\cdot\log x\cdot\frac{1}{x}-1\right)=\\e^{\log^2 x-x}\cdot\frac{2\log x-x}{x}[/math]

Sostituendo allora l'esponenziale con la funzione di partenza ottieni

[math]f'(x)=\frac{x^{\log x}}{e^x}\cdot\frac{2\log x-x}{x}[/math]

.

Ecco fatto.