Derivata 1a, credo mi "manchi un pezzo".

[Dlofud]

Salve ragazzi, tempo addietro ho chiesto aiuto qui per un problema, e mi avete aiutato anche più di quanto avrei immaginato, quindi perdonatemi, ma vengo di nuovo a chiedere lumi.

Questa è la funzione da cui parto:



Esiste solo per valori di x < -2 e x > 1, non esiste tra -2 e 1, dove il radicando diverrebbe negativo.

La derivata prima è:



che risulta positiva per x > 1. Ora, dato che la derivata stessa, per valori di x < 1 non esiste, (i radicandi al denominatore divengono negativi!), cosa significa a livello di studio di funzione?

Che la funzione è crescente dopo x > 1 e "non ha un andamento definibile" prima, pur esistendo per tutti gli x < -2?

Grazie fin da ora.

[Kashaman]

posto $f(X) = sqrt((x-1)/(x-2))$
dai miei calcoli risulta che $f'(x)=3/2* (1/(f(x)*(x+2)^2))$
quindi direi proprio che dato che $f'(X)>0 AAx in Domf$ , quindi $f$ cresce .
La derivata prima da te posta a mio parere è errata.

[Dlofud]

Kashaman, vedo che tu sei partito da una f(x) con al denominatore (x-2), io invece ho (x+2), per quello abbiamo derivate diverse.

Se invece hai usato anche te (x+2) ma l'hai riportato così per svista, ti dispiacerebbe mostrarmi qualche passaggio in più?

[giammaria2]

Dlofud, hai separato $x-1$ e $x+2$ e non era lecito; il tuo risultato dovrebbe essere scritto nella forma
$y'=3/(2sqrt((x-1)(x+2)^3))$
e vedendolo così è evidente che la derivata esiste (ed è positiva) anche per $x<-2$.

[Dlofud]

giammaria, mi faresti un escursus, anche breve, dei passaggi con cui l'hai scritta così?

Perchè adesso, riprovando a calcolare la derivata, l'ho ottenuta in questa forma:



(Applicando la regola della derivazione di una potenza alla funzione iniziale, f'(x)=[f(x)]^(1/2).)

...e così scritta, analizzando fattore per fattore e combinando i risultati, risulta in effetti definita per x < -2 e x > 1, crescente in entrambi gli intervalli.

(Sei passato anche te attraverso la forma in cui l'ho scritta io?)

[giammaria2]

Partiamo dalla tua formula ma vorrei scrivere solo l'essenziale. A numeratore ottengo 3; a denominatore c'è 2 moltiplicato per

$ sqrt((x-1)/(x+2) )*(x+2)^2=sqrt((x-1)/(x+2)*(x+2)^4)=sqrt((x-1)(x+2)^3)$

Anche io ho come prima cosa derivato la radice; il 2 del denominatore mi veniva all'inizio e non alla fine perché ho applicato $Dsqrtx=1/(2sqrtx)$ ma, a parte questo, ho fatto gli stessi passaggi.

[Dlofud]

"giammaria":Partiamo dalla tua formula ma vorrei scrivere solo l'essenziale. A numeratore ottengo 3; a denominatore c'è 2 moltiplicato per

$ sqrt((x-1)/(x+2) )*(x+2)^2=sqrt((x-1)/(x+2)*(x+2)^4)=sqrt((x-1)(x+2)^3)$

Anche io ho come prima cosa derivato la radice; il 2 del denominatore mi veniva all'inizio e non alla fine perché ho applicato $Dsqrtx=1/(2sqrtx)$ ma, a parte questo, ho fatto gli stessi passaggi.

Ah, quindi hai portato sotto la radice al denominatore anche (x+2)^2, ora mi è tutto chiaro giammaria, grazie!

Così, anche considerando il 3 al numeratore, è analizzabile facilmente:

- non ci sono punti stazionari di max/min;
- nei punti in cui esiste è tutta crescente;
- non ci sono punti di max/min nei punti in cui non è derivabile, direi.