Derivabilità e continuità [modificato]
Ragazzi non ho ben capito come si fa a stabilire quando una funzione è continua in un punto, e in un intervallo; e quando una funzione è derivabile in un punto, e in un intervallo...Grazie in anticipo so già che mi sarete di aiuto...
Titolo modificato perché troppo generico.
Steven
Titolo modificato perché troppo generico.
Steven
Risposte
Ti arriveranno risposte più precise sicuramente, ma per quello che so io è continua in punto se il limite destro e il limite sinistro sono uguali e uguali al valore assunto dalla funzione in quel punto, e continua in un intervallo se continua in tutti i punti dell'intervallo. Derivabile in un punto se la derivata destra e sinistra sono uguali, e derivabile in un intervallo se derivabile in tutti i punti dell'intervallo.
Def 1:Una funzione $f:A->R$ è continua in un punto $x_0 in A$, $x_0$ di accumulazione per $A$, se esiste $lim_(x->x_0)f(x)=f(x_0) in R$.
Da notare che $x_0$ deve essere di accumulazione.
In questa definizione non è però contemplato il caso in cui $x_0$ sia un punto isolato. Si ricorre perciò a quest'altra definizione di continuità:
Def 2: Una funzione $f:A->R$ è continua in un punto $x_0 in A$ se $AA \epsilon>0 EE \delta>0: AAx in A, |x-x_0|<\delta => |f(x)-f(x_0)|<\epsilon$.
Notare che qui non è specificato che $x_0$ sia di accumulazione.
Ovviamente, se $x_0$ è di accumulazione per $A$, $text{def 1} <=> text{def 2}$
Esempio: poniamo $f(x)={(1,se 0<=x<=1),(2, se x=2):}$
Il punto $x=2$ è un punto isolato, di conseguenza non vale la definizione 1. Uso quindi la definizione 2: la funzione è continua in $2$ se per ogni $epsilon>0$ esiste un intorno di $2$ tale che per tutti i punti $in A=[0,1]U{2}$ contenuti in quell'intorno (e cioè solo il punto $x=2$) valga $|f(x)-f(x_0)|
Qualche nota sui tipi di discontinuità:
https://www.matematicamente.it/forum/per ... 30470.html
Da notare che $x_0$ deve essere di accumulazione.
In questa definizione non è però contemplato il caso in cui $x_0$ sia un punto isolato. Si ricorre perciò a quest'altra definizione di continuità:
Def 2: Una funzione $f:A->R$ è continua in un punto $x_0 in A$ se $AA \epsilon>0 EE \delta>0: AAx in A, |x-x_0|<\delta => |f(x)-f(x_0)|<\epsilon$.
Notare che qui non è specificato che $x_0$ sia di accumulazione.
Ovviamente, se $x_0$ è di accumulazione per $A$, $text{def 1} <=> text{def 2}$
Esempio: poniamo $f(x)={(1,se 0<=x<=1),(2, se x=2):}$
Il punto $x=2$ è un punto isolato, di conseguenza non vale la definizione 1. Uso quindi la definizione 2: la funzione è continua in $2$ se per ogni $epsilon>0$ esiste un intorno di $2$ tale che per tutti i punti $in A=[0,1]U{2}$ contenuti in quell'intorno (e cioè solo il punto $x=2$) valga $|f(x)-f(x_0)|
Qualche nota sui tipi di discontinuità:
https://www.matematicamente.it/forum/per ... 30470.html
derivabile in un punto cioè se esistono e sono uguali i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale
$lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h$
nel caso di $f(x)=|x|$ si ha che ad esempio nell'intervallo [-1,1] non è derivabile, in particolare nel punto (0,0).
Sistemato sostituendo & ..
Camillo
$lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h$
nel caso di $f(x)=|x|$ si ha che ad esempio nell'intervallo [-1,1] non è derivabile, in particolare nel punto (0,0).
Sistemato sostituendo & ..
Camillo
"nato_pigro":
derivabile in un punto cioè se esistono e sono uguali i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale
E finiti.
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