Derivabilità di una funzione

[maria601]

Come si stabilisce che la funzione $ y= x^2log |x| $ se x è diveso da zero, y=0 se x=0, è derivabile? basta dire che derivabile in ogni punto e pertanto è derivabile in tutto R ?

[blackbishop13]

sì certo, però devi dimostrare che è derivabile in ogni punto.
per i punti diversi da zero è molto facile, basta calcolare la derivata della funzione $x^2logx$.
il "problema" è in $x=0$.

[@melia]

Devi verificare la derivabilità in 0, in teoria dovresti calcolarti il limite del rapporto incrementale il 0 per $h->0^+$ e $h->0^-$ e verificare che i due limiti esistono finiti e sono uguali, in pratica dato che la funzione è continua e facendo il limite destro e sinistro della derivata in 0 questi risultano uguali, puoi tranquillamente affermare che la funzione è derivabile in 0.

[maria601]

Non riesco a capire perchè devo calcolare il limite destro e sinistro della derivata in 0 , per stabilire la derivabilità in 0...

[@melia]

$ y'= (x^2log |x|)'=2xlog|x|+x^2*1/x= 2xlog|x|+x$ che in $0$ non esiste, quindi in teoria la tua funzione in 0 non è derivabile. Per controllare se puoi prolungare per continuità la derivata in 0 devi calcolare i due limiti destro e sinistro (a cavallo dello 0 non è ammesso applicare la formula di derivazione perché devi dividere per x, che deve essere posto $!=0$).