Delle belle dimostrazioni

[fireball1]

1) Dimostrare che la lunghezza della circonferenza e l'area del cerchio sono
rispettivamente 2r e r², e che la lunghezza è la derivata dell'area.

2) Dimostrare che se il numero dei lati di un poligono inscritto in una circonferenza
tende all'infinito, il perimetro del poligono tende alla circonferenza.

Ricordatevi inoltre di questo topic al quale nessuno ha ancora risposto.

[Principe2]

il procedimento dovrebbe essere il seguente; per l'area si può integrare la funzione sqrt(r-x^2)nell'intervallo [0,r] e moltiplicare per 4 (in questo modo si utilizza una circonferenza centrata nell'origine, ma è ovvio che non si perde in generalità;
per la lunghezza della circonferenza, come hai suggerito, si può calcolare il limite per n-->+00 del perimetro di un n-agono inscritto in una circonferenza di raggio r; per la derivata, basta osservare che, rispetto ad r, la lunghezza della circonfenza è la derivata dell'area del cerchio.

p.s. i calcoli li lascio a qualcuno più... voglioso.
p.p.s: per il calcolo dell'area del cerchio esiste sicuramente un metodo elementare.. forse si può ragionare analogamente alla circonferenza, considerando però l'area e non il perimetro dell' n-agono.

ciao, ubermensch

[fireball1]

A parte che la funzione è y = (r² - x²)...
Alla sua integrazione avevo pensato pure io...
Mi chiedevo però se per dimostrare la lunghezza
della circonferenza e l'area del cerchio esistessero altri metodi.

Per la lunghezza della circonferenza, io direi che
un altro modo è quello di calcolare:

  r

4[ 1 - x²/(x² - r²) ] dx

  0

cioè la lunghezza di un quarto di circonferenza moltiplicata per quattro,
che dà come risultato 2r.

Modificato da - fireball il 28/04/2004 17:56:14

[Principe2]

penso sia giusta.. bisognerebbe trovare un metodo elementare...

[Sk_Anonymous]