Definizioni date con se e solo se
I
L uso del se e solo se è molto frequente anche nelle definizioni, ma che vuol dire ?
Alcuni dei miei compagni dicono che la frase scritta a sinistra del sse (equivale) con quella alla sua destra.
Equivale significa essere la stessa frase?
E in una dimostrazione ?
Grazie
L uso del se e solo se è molto frequente anche nelle definizioni, ma che vuol dire ?
Alcuni dei miei compagni dicono che la frase scritta a sinistra del sse (equivale) con quella alla sua destra.
Equivale significa essere la stessa frase?
E in una dimostrazione ?
Grazie
Risposte
"Equivale" non significa "uguale": le due frasi sono diverse ma hanno lo stesso "valore di verità": tradotto significa che se è vera una è vera anche l'altra, se è falsa una è falsa anche l'altra.
Bada bene però che questo è vero se è vera TUTTA la proposizione.
Bada bene però che questo è vero se è vera TUTTA la proposizione.
Provo a scrivere un paio di esempi:
1. "un numero è pari se e solo se è divisibile per $2$". Questa è vera perché se un numero è pari allora è divisibile per $2$ e inoltre se un numero è divisibile per $2$ allora è pari.
2. "un numero è pari se e solo se è divisibile per $4$". Questa è falsa perché se un numero è divisibile per $4$ allora è pari ma non è detto che se un numero è pari allora sia divisibile per $4$ (ad esempio il $6$).
Simbolicamente possiamo dire \[\text{numero pari} \Longleftrightarrow \text{divisibile per $2$}\] \[\text{divisibile per $4$} \Longrightarrow \text{pari}\] Intuitivamente puoi pensare \[\Longleftrightarrow\ =\ \Leftarrow\ +\ \Rightarrow\] cioè deve valere la doppia implicazione.
1. "un numero è pari se e solo se è divisibile per $2$". Questa è vera perché se un numero è pari allora è divisibile per $2$ e inoltre se un numero è divisibile per $2$ allora è pari.
2. "un numero è pari se e solo se è divisibile per $4$". Questa è falsa perché se un numero è divisibile per $4$ allora è pari ma non è detto che se un numero è pari allora sia divisibile per $4$ (ad esempio il $6$).
Simbolicamente possiamo dire \[\text{numero pari} \Longleftrightarrow \text{divisibile per $2$}\] \[\text{divisibile per $4$} \Longrightarrow \text{pari}\] Intuitivamente puoi pensare \[\Longleftrightarrow\ =\ \Leftarrow\ +\ \Rightarrow\] cioè deve valere la doppia implicazione.
1)Se ho afferrato: quando valgono entrame le implicazioni logiche le proposizioni sono equivalenti.
Una equivalenza pero mi dice che due frasi possono essere entrame vere aut entrambe false, nel caso sopra il numero 1 i numeri pari sono tutti e solo quelli divisibili per 2. (la leggo come se fosse vere entrambe)
1.a) E poiche sono equivalenti dice anche quando un numero non è pari ?
1.b) O devo riscriverla nella seguente forma : non pari sse non divisibie per 2 ?
2) In alcuni esercizi infatti mi chiede dato : A sse B fai vedere (not A) sse (not B) ?
Una equivalenza pero mi dice che due frasi possono essere entrame vere aut entrambe false, nel caso sopra il numero 1 i numeri pari sono tutti e solo quelli divisibili per 2. (la leggo come se fosse vere entrambe)
1.a) E poiche sono equivalenti dice anche quando un numero non è pari ?
1.b) O devo riscriverla nella seguente forma : non pari sse non divisibie per 2 ?
2) In alcuni esercizi infatti mi chiede dato : A sse B fai vedere (not A) sse (not B) ?
"alfaomega":
... Se ho afferrato: quando valgono entrame le implicazioni logiche le proposizioni sono equivalenti....
Yes.
Questa $(p <=> q)$ è equivalente a questa $((p=>q)^^(q=>p)$
"alfaomega":
Una equivalenza pero mi dice che due frasi possono essere entrame vere aut entrambe false, nel caso sopra il numero 1 i numeri pari sono tutti e solo quelli divisibili per 2.
1.a )Pero' dice anche quando un numero non è pari ?
1.b) O devo riscriverla nella seguente forma : non pari sse non divisibie per 2 ?
Come ho detto prima, se chiamiamo $r$ la nostra proposizione $p<=>q$ allora se $r$ è vera significa che $p$ e $q$ o sono entrambe vere o sono entrambe false, non c'è bisogno di un'altra per affermare la seconda opzione.
Difatti nell'esempio fatto se un numero non è pari non è divisibile per $2$ e contemporaneamente se un numero non è divisibile per $2$ non è pari; come vedi basta questa per tutti i casi.
Mi era sembrato che la prima domanda riguardasse una notazione che spesso si usa, $"sse(def)"$ oppure $(<=>)_(def)$, che sta ad indicare una "equivalenza" che però non va dimostrata, non dipende da altre cose, ma si sta semplicemente dando una definizione.
Poi invece, per quanto riguarda altre "implicazioni, equivalenze o coimplicazioni", ..., tutto ok, non mi pare il caso ora di aggiungere altro.
Però, dall'ultimo intervento di alfaomega, mi è venuto in mente che forse la questione che gli sta a cuore è un'altra, che comprende in particolare i significati di teoremi diretto, inverso, contrario, controinverso...
posta qualche esempio del 2).
1.a) di dice anche quando un numero non è pari, appunto perché c'è equivalenza, ed il teorema inverso vale...
1.b) è equivalente, non è necessario scriverla così, ma di solito, quando si vuole specificare, si scrivono le due implicazioni distinte al posto dell'equivalenza.
facci sapere. ciao.
EDIT: @ axgpn, non mi riferivo a 1), e stavo scrivendo contemporaneamente... io di fatto la risposta che hai dato tu l'avevo saltata...
Poi invece, per quanto riguarda altre "implicazioni, equivalenze o coimplicazioni", ..., tutto ok, non mi pare il caso ora di aggiungere altro.
Però, dall'ultimo intervento di alfaomega, mi è venuto in mente che forse la questione che gli sta a cuore è un'altra, che comprende in particolare i significati di teoremi diretto, inverso, contrario, controinverso...
posta qualche esempio del 2).
1.a) di dice anche quando un numero non è pari, appunto perché c'è equivalenza, ed il teorema inverso vale...
1.b) è equivalente, non è necessario scriverla così, ma di solito, quando si vuole specificare, si scrivono le due implicazioni distinte al posto dell'equivalenza.
facci sapere. ciao.
EDIT: @ axgpn, non mi riferivo a 1), e stavo scrivendo contemporaneamente... io di fatto la risposta che hai dato tu l'avevo saltata...
Un ultima considerazione sia a>= 0 , d >=0 si definisce:
La radice quadrata di a è quel numero d tale che d^2 = a, si può formalizzare con un se e solo se ?
Se si come la si deve interpretare ?
grazie
La radice quadrata di a è quel numero d tale che d^2 = a, si può formalizzare con un se e solo se ?
Se si come la si deve interpretare ?
grazie
dato $a>=0$, si dice che $d=sqrt a$, $d>=0$, $"sse " d^2=a$
@adaBTTLS
Oh, di nulla ... anzi spero che dia un'occhiata a quello che scrivo, che serve ...
@alfaomega
Vorrei aggiungere solo una cosa, quando hai un'implicazione
1) $p=>q$
con le stesse due proposizioni puoi costruire altre tre implicazioni che sono:
2) $q=>p$ ....................................... (converse)
3) $notp=>notq$.....................................(inverse)
4) $notq=>notp$ ....................................(contrapositive)
(purtroppo non mi ricordo il loro nome in italiano ...
)
Il fatto interessante è che la 1) e la 4) sono equivalenti, e lo stesso si può dire per la 2) e la 3)
Oh, di nulla ... anzi spero che dia un'occhiata a quello che scrivo, che serve ...
@alfaomega
Vorrei aggiungere solo una cosa, quando hai un'implicazione
1) $p=>q$
con le stesse due proposizioni puoi costruire altre tre implicazioni che sono:
2) $q=>p$ ....................................... (converse)
3) $notp=>notq$.....................................(inverse)
4) $notq=>notp$ ....................................(contrapositive)
(purtroppo non mi ricordo il loro nome in italiano ...
)Il fatto interessante è che la 1) e la 4) sono equivalenti, e lo stesso si può dire per la 2) e la 3)
hai esplicitato quello che dicevo prima: <>
infatti pensavo chiedesse questo, perciò chiedevo di postare qualche esempio in tal senso... ma forse la richiesta era un'altra.
infatti pensavo chiedesse questo, perciò chiedevo di postare qualche esempio in tal senso... ma forse la richiesta era un'altra.
Prima di tutto grazie, tuttavia ho un dubbio. Il sse esprime un equivalenza tra 2 affermazioni A , B, ma in una definizione devo dire quando vale A cosa deve succedere, il fatto che A equivale a B quanto mi è utile?
La definizione di radice quadrata che io avevo scritto, perché esprime lo stesso concetto di quella fornita col sse?
Mi sfugge qualcosa .
Scusate
La definizione di radice quadrata che io avevo scritto, perché esprime lo stesso concetto di quella fornita col sse?
Mi sfugge qualcosa .
Scusate
"adaBTTLS":
dato $a>=0$, si dice che $d=sqrt a$, $d>=0$, $"sse " d^2=a$
qui io ho scritto così semplicemente perché mi avevi chiesto di formalizzare una definizione usando $"sse"$.
di fatto, qui il se e solo se è inteso come definizione perché parti dal fatto che conosci il significato di $d^2=a$ e lo usi per definire una cosa che non conosci ancora: $d=sqrt a$. normalmente nelle definizioni si scrive solo "se" e non "se e solo se", ma il simbolo $"sse(def)"$ sta a specificare che è comunque un'equivalenza.
il "se e solo se" in generale è un'equivalenza (teorema da dimostrare come due implicazioni) nell'affermazione "un triangolo è equilatero se e solo se è equiangolo", ad esempio, perché, avendo precedentemente definito tutti i concetti di cui si parla, in particolare che cos'è un triangolo e che cosa significa che un "poligono" è equilatero e/o equiangolo, si tratta di dimostrare due cose separate, che devono valere entrambe: se un triangolo è equilatero allora è equiangolo; se un triangolo è equiangolo allora è equilatero.
spero di aver chiarito. ciao.
Piano piano ci stiamo capendo:
1) In una dimostrazione dimostrare p⇔q significa esibire entrambe le due implicazioni , da cui deduciamo p e q equivalenti.
1.1) Non deduciamo quindi che p e q devono essere veri, (come sostiene ancora un mio compagno).
2) In una definizione data con sse (def) non c'e' alcuna dimostrazione da fare, poichè le due proposizioni si assumono equivalenti. Ok!
Come nel caso della radice
2.1) Ora perchè questa equivalenza esprime tradotta in linguaggo meno matematico questo: La radice quadrata di a>=0 è quel numero d>=0 tale che d^2 = a, ovvero l' affermazione di entrambe le proposizioni ?
1) In una dimostrazione dimostrare p⇔q significa esibire entrambe le due implicazioni , da cui deduciamo p e q equivalenti.
1.1) Non deduciamo quindi che p e q devono essere veri, (come sostiene ancora un mio compagno).
2) In una definizione data con sse (def) non c'e' alcuna dimostrazione da fare, poichè le due proposizioni si assumono equivalenti. Ok!
Come nel caso della radice
"adaBTTLS":
dato $a>=0$, si dice che $d=sqrt a$, $d>=0$, $"sse " d^2=a$
2.1) Ora perchè questa equivalenza esprime tradotta in linguaggo meno matematico questo: La radice quadrata di a>=0 è quel numero d>=0 tale che d^2 = a, ovvero l' affermazione di entrambe le proposizioni ?
la traduzione "in linguaggio meno matematico" è precisa.
è vero anche che, una volta data la definizione, la usi anche come doppia implicazione, supponendo però vere le disuguaglianze che in qualche modo costituiscono una sorta di "insieme di validità", $a>=0, d>=0$:
$x^2=a->x=sqrt a, " cioè "x=d$
$x=d -> x^2 =d^2," cioè "x^2=a$
è vero anche che, una volta data la definizione, la usi anche come doppia implicazione, supponendo però vere le disuguaglianze che in qualche modo costituiscono una sorta di "insieme di validità", $a>=0, d>=0$:
$x^2=a->x=sqrt a, " cioè "x=d$
$x=d -> x^2 =d^2," cioè "x^2=a$
Se posso aggiungere, direi che:
Esatto, questa è la parte importante della doppia implicazione: uno volta dimostrata che è vera, se hai $p$ vera avrai anche $q$ vera e viceversa (oppure se hai $p$ falsa anche $q$ sarà falsa).
Esatto. L'esempio precedente sui numeri pari e divisibili per $2$ non ti dice che qualsiasi $n$ sia pari, ma che preso un $n$ qualsiasi so per certo che se è pari è divisibile per $2$ mentre se è dispari NON è divisibile per $2$
Perché hai preso una $p$ vera e quindi anche $q$ sarà vera (stante il fatto che hai già dimostrato che la doppia implicazione fosse vera). Se avessi preso una $p$ falsa (p.e. $a<0$) la $q$ sarebbe anch'essa falsa (ma la doppia implicazione continuerebbe a rimanere vera)
"alfaomega":
... dimostrare p⇔q significa ... p e q equivalenti ...
Esatto, questa è la parte importante della doppia implicazione: uno volta dimostrata che è vera, se hai $p$ vera avrai anche $q$ vera e viceversa (oppure se hai $p$ falsa anche $q$ sarà falsa).
"alfaomega":
... Non deduciamo quindi che p e q devono essere veri, ...
Esatto. L'esempio precedente sui numeri pari e divisibili per $2$ non ti dice che qualsiasi $n$ sia pari, ma che preso un $n$ qualsiasi so per certo che se è pari è divisibile per $2$ mentre se è dispari NON è divisibile per $2$
"alfaomega":
... perchè questa equivalenza esprime tradotta in linguaggo meno matematico questo: La radice quadrata di a>=0 è quel numero d>=0 tale che d^2 = a, ovvero l' affermazione di entrambe le proposizioni ?
Perché hai preso una $p$ vera e quindi anche $q$ sarà vera (stante il fatto che hai già dimostrato che la doppia implicazione fosse vera). Se avessi preso una $p$ falsa (p.e. $a<0$) la $q$ sarebbe anch'essa falsa (ma la doppia implicazione continuerebbe a rimanere vera)
1)
Citando una delle frasi precedenti.
Dall'esempio sui numeri pari visto che vale l'equivalenza , possiamo dire che un numero pari è divisibili per 2 , mentre se è dispari NON è divisibile per 2.
Domanda il mentre è una alternativa aut logico, giusto ?
2)
Ultima considerazione: un mio compagno ritiene che quando valgono "A=> B e (non A)=>(non B)" stiamo asserendo che A e B si equivalgono ( altro maniera di scrivere la doppia implicazione) .Afferma che la particella e è necessaria per dimostrare la doppia implicazione a differenza del mentre citato sopra nel punto 1 che serve a tradurre il significato di quello che l' equivalenza esprime dal punto di vista matematico?
Ho riportato la frase come mi è stato detta, non so se vi è chiara ?
Grazie.
Citando una delle frasi precedenti.
Dall'esempio sui numeri pari visto che vale l'equivalenza , possiamo dire che un numero pari è divisibili per 2 , mentre se è dispari NON è divisibile per 2.
Domanda il mentre è una alternativa aut logico, giusto ?
2)
Ultima considerazione: un mio compagno ritiene che quando valgono "A=> B e (non A)=>(non B)" stiamo asserendo che A e B si equivalgono ( altro maniera di scrivere la doppia implicazione) .Afferma che la particella e è necessaria per dimostrare la doppia implicazione a differenza del mentre citato sopra nel punto 1 che serve a tradurre il significato di quello che l' equivalenza esprime dal punto di vista matematico?
Ho riportato la frase come mi è stato detta, non so se vi è chiara ?
Grazie.
per entrambe le questioni sono importanti i teoremi diretto etc...... di cui si parlava in precedenza. rompo gli indugi:
$I=>T$ "ipotesi implica tesi": teorema diretto;
$not I=>not T$ "la negazione dell'ipotesi implica la negazione della tesi": teorema contrario;
$T=>I$ "tesi implica ipotesi": teorema inverso;
$not T=>not I$ "la negazione della tesi implica la negazione dell'ipotesi": teorema controinverso.
il teorema diretto è equivalente al teorema controinverso (quest'ultimo si usa nelle dimostrazioni per assurdo);
analogamente il teorema contrario è equivalente al teorema inverso.
se vale sia il teorema diretto sia l'inverso, ipotesi e tesi sono equivalenti;
se vale il contrario è come se valesse l'inverso: dunque è vero in questo caso quello che dice il tuo compagno.
il mentre è usato come congiunzione, con l'aggiunta solo del fatto che fa notare che vale il contrario.
$I=>T$ "ipotesi implica tesi": teorema diretto;
$not I=>not T$ "la negazione dell'ipotesi implica la negazione della tesi": teorema contrario;
$T=>I$ "tesi implica ipotesi": teorema inverso;
$not T=>not I$ "la negazione della tesi implica la negazione dell'ipotesi": teorema controinverso.
il teorema diretto è equivalente al teorema controinverso (quest'ultimo si usa nelle dimostrazioni per assurdo);
analogamente il teorema contrario è equivalente al teorema inverso.
se vale sia il teorema diretto sia l'inverso, ipotesi e tesi sono equivalenti;
se vale il contrario è come se valesse l'inverso: dunque è vero in questo caso quello che dice il tuo compagno.
il mentre è usato come congiunzione, con l'aggiunta solo del fatto che fa notare che vale il contrario.
Perfetto 
... anche sul mentre
... anche sul mentre
grazie dell'appoggio... e del sostegno!
in realtà le formulazioni le avevi anticipate tu, ma forse ora era opportuno riportarle ordinatamente, senza fare troppo zig-zag...
in realtà le formulazioni le avevi anticipate tu, ma forse ora era opportuno riportarle ordinatamente, senza fare troppo zig-zag...
grazieee
prego!
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