Definizione polinomio ed esistenza dell'inverso.

[billytalentitalianfan]

Salve!

E' vero che un polinomio è una somma algebrica finita tra monomi che CONTENGONO SOLO POTENZE CON ESPONENTE POSITIVO di una generica variabile x?
In questo caso potrei capire come mai, per quanto riguarda l'anello dei polinomi, non valga la proprietà dell'esistenza dell'inverso; peccato che non abbia trovato alcuna conferma alla definizione di cui sopra!!

[leena1]

Cioè? Mi fai un esempio di un inverso di un polinomio?

[billytalentitalianfan]

No, l'inverso di un polinomio proprio non riesco a trovarlo!

Ad ogni modo, se un polinomio ha sempre variabili con esponenti positivi, un'espressione del tipo $x^2-2/(x)^3+2$ , cos'è?

[@melia]

"billytalentitalianfan": un'espressione del tipo $x^2-2/(x)^3+2$ , cos'è?

Una frazione algebrica non ridotta, riducendola diventa $x^2-2/x^3+2=(x^5-2+2x^3)/x^3$

[dissonance]

"billytalentitalianfan":No, l'inverso di un polinomio proprio non riesco a trovarlo!

Dici? E, per esempio, $2$ e $1/2$? Mi pare proprio che $2*1/2=1$ (non mi prendere a parolacce!)

Comunque non è strano che tu non riesca a trovarlo. Prova a dimostrare questa proposizione:
Proposizione
Siano $p(x)=a_nx^n+...+a_0$ e $q(x)=b_mx^m+...+b_0$ due polinomi a coefficienti reali (*). Allora il polinomio prodotto $p(x)q(x)$ ha grado esattamente pari a $n+m$.

Allora, se un polinomio ha grado maggiore di zero (ovvero, se non è costante), come potrà avere un inverso?

[edit] Completo adesso il mio post che ho lasciato a metà per un problema tecnico.
Aggiungo che quanto scritto sopra vale solo per i polinomi e non per altri oggetti nei quali sono ammesse potenze negative delle indeterminate. Inoltre, al punto (*): vanno bene anche polinomi a coefficienti interi, razionali, o complessi.

[billytalentitalianfan]

Effettivamente uan frazione algebrica è per definizione una divisione fra polinomi!

Grazie a tutti!