Definizione di immagine e codominio di una funzione

[Ale10]

Ciao ragazzi, ho una confusione su dominio e codominio che non riesco a chiarire. Sul mio libro di mate che è uno dei più utilizzati c'è scritto:

f: x --> y
y è detta l’immagine di x mediante la funzione f, analogamente x è detta controimmagine di y.
L’insieme di partenza A è detto dominio della funzione; il sottoinsieme di B formato dalle immagini degli elementi di A è detto codominio;

Qui nascono i miei dubbi perchè su vari siti ho letto (almeno per quanto ho capito)che il codominio è l'intero insieme B (l'insieme di arrivo); mentre l'immagine è il sottoinsieme del codominio formato dai valori che la funzione può assumere.
I mie sono dovuti anche perchè è un libro molto famoso e utilizzato.
Graziee!!

[BIT5]

guarda, io aspetterei Ciampax.

Per quanto ne so io il codominio è proprio l'insieme di tutte le immagini di x..

aspetta il parere dell'esperto, però..

[ciampax]

Allora, consideriamo una funzione definita tra due insiemi

[math]f:A\rightarrow B[/math]

. Si definisce Dominio della funzione

[math]f[/math]

il più grande sottoinsieme

[math]D(f)\subseteq A[/math]

sul quale la funzione sia definibile. Si definisce codominio di

[math]f[/math]

l'insieme più grande su cui la funzione assume valori, mentre si definisce immagine di

[math]f[/math]

l'insieme

[math]Im(f)=\{y\in B\ :\ \exists\ x\in D(f),\ f(x)=y\}\subseteq B[/math]

.

La confusione nasce perché, in generale, si tende ad identificare codominio con immagine. Tuttavia io posso definire la seguente funzione

[math]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/math]

così

[math]f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
0 & & x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\\
\frac{1}{x} & & x\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}
\end{array}\right.[/math]

Puoi convincerti facilmente che il dominio di questa funzione è

[math]\mathbb{R}\setminus\{0\}[/math]

, il codominio è

[math]\mathbb{Q}[/math]

(l'insieme dei numeri razionali), mentre l'immagine è

[math]Im(f)=[-1,1]\cap\mathbb{Q}[/math]

(cioè l'insieme di tutti i numeri razionali compresi tra -1 e 1.