Decomposizone polinomio
Sto provando a decomporre il seguente polinomio utilizzando, come suggerito dal libro, i prodotti notevoli.
$x^6+1$
ma non so da dove partire.... Mi potete dare uno spunto?
Inoltre, siccome questo argomento sul libro non viene trattato molto bene, mi potreste suggerire qualche dispensa o un libro dove andarlo a studiare in modo piu' "completo"??
Grazie
$x^6+1$
ma non so da dove partire.... Mi potete dare uno spunto?
Inoltre, siccome questo argomento sul libro non viene trattato molto bene, mi potreste suggerire qualche dispensa o un libro dove andarlo a studiare in modo piu' "completo"??
Grazie
Risposte
questo binomio non è scomponibile; lo sarebbe se al posto del + ci fosse -
"Nicole93":
questo binomio non è scomponibile; lo sarebbe se al posto del + ci fosse -
Ciao!"
Mi dispiace...ma quello che dice "Nicole93" non è corretto.
Il polinomio $x^6 + 1$ si può scrivere come somma di due cubi (che è decomponibile!!! ).
Infatti, sia $x^6 = (x^2)^3$.
Allora $x^6 + 1 = (x^2)^3 + 1$ che è proprio somma di due cubi.
Per semplicità nei calcoli chiamiamo $ y = x^2 $, ottenendo così : $(x^2)^3 + 1 = y^3 + 1 $.
Ora si ha : $y^3 + 1 = (y +1) ( y^2 - y + 1)$
Risostituendo $ y = x^2$ ottieni la scomposizione cercata:
$x^6 + 1 = (x^2)^3 + 1 = (x^2+1)( x^4 - x^2 + 1) $.
Spero di essere stato chiaro
Per qualsiasi cosa non esitare a contattarmi!
Ciao!
Giusto quanto detto sopra, ma la scomposizione ancora non è in polinomi irriducibili...
Ora ci penso....
Nel libro la soluzione data e':
$(x^2+1)(x^2-sqrt(3)x+1)(x^2+sqrt(3)x+1)$
$(x^2+1)(x^2-sqrt(3)x+1)(x^2+sqrt(3)x+1)$
"GundamRX91":
Nel libro la soluzione data e':
$(x^2+1)(x^2-sqrt(3)x+1)(x^2+sqrt(3)x+1)$
Esattamente...!
Mi ero dimenticato che il trinomio di quarto grado si scompone!
Prova a fare cosi:
Considera che il trinomio $x^4 - x^2 + 1$ si deve poter scrivere come prodotto di due polinomi "monici" (in cui il coefficiente di grado massimo è 1) di secondo grado, e cioè:
$x^4 - x^2 + 1 = (x^2 + A x + B)(x^2 + C x + D)$.
Svolgendo le moltiplicazioni a secondo membro e applicando il principio di equivalenza tra polinomi ottieni un sistema formato da:
$ C + A = 0 $ ; $D + A C + B = - 1 $ ; $ A D + B C = 0 $ ; $ B D = 1 $.
Risolvendolo dovresti trovare proprio la scomposizione che tu mi hai scritto.
Se hai ancora dubbi scrivimi...
appena sono di nuovo on-line ti rispondo volentieri!
Ciao!
Per il polinomio $x^4 -x^2 +1$ puoi porre $y = x^2$ riconducendoti a un polinomio di secondo grado facilmente scomponibile e poi risostituire per trovarti il tuo risultato.
Piccola parentesi generale: in $RR$ gli unici polinomi irriducibili sono i polinomi di primo grado e i polinomi di secondo grado con $\Delta < 0$, in particolare ogni polinomio di grado $n \geq 3$ può essere scomposto in fattori più semplici.
Piccola parentesi generale: in $RR$ gli unici polinomi irriducibili sono i polinomi di primo grado e i polinomi di secondo grado con $\Delta < 0$, in particolare ogni polinomio di grado $n \geq 3$ può essere scomposto in fattori più semplici.
Passando dai complessi possiamo scrivere:
$x^4 - x^2 + 1 = (x^2 - 1/2)^2 + 3/4 = (x^2 - 1/2)^2 - (sqrt(3)/2 i)^2$
da cui
$(x^2 - 1/2 + (sqrt(3)/2 i) ) * (x^2-1/2 - (sqrt(3)/2 i) ) = (x^2 - (1/2 - sqrt(3)/2 i)) * (x^2 - (1/2 + sqrt(3)/2))$
quindi
$(x - sqrt(3)/2 + 1/2 i) * (x + sqrt(3)/2 - 1/2 i) * (x - sqrt(3)/2 - 1/2 i) * (x + sqrt(3)/2 + 1/2 i)$
raggruppando i binomi che coinvolgono le radici coniugate abbiamo
$(x - sqrt(3)/2 + 1/2 i) * (x - sqrt(3)/2 - 1/2 i) * (x + sqrt(3)/2 - 1/2 i) * (x + sqrt(3)/2 + 1/2 i)$
infine arriviamo alla fattorizzazione su $RR$:
$x^4 - x^2 + 1 = (x^2 - sqrt(3) x + 1) * (x^2 + sqrt(3) x + 1)$
$x^4 - x^2 + 1 = (x^2 - 1/2)^2 + 3/4 = (x^2 - 1/2)^2 - (sqrt(3)/2 i)^2$
da cui
$(x^2 - 1/2 + (sqrt(3)/2 i) ) * (x^2-1/2 - (sqrt(3)/2 i) ) = (x^2 - (1/2 - sqrt(3)/2 i)) * (x^2 - (1/2 + sqrt(3)/2))$
quindi
$(x - sqrt(3)/2 + 1/2 i) * (x + sqrt(3)/2 - 1/2 i) * (x - sqrt(3)/2 - 1/2 i) * (x + sqrt(3)/2 + 1/2 i)$
raggruppando i binomi che coinvolgono le radici coniugate abbiamo
$(x - sqrt(3)/2 + 1/2 i) * (x - sqrt(3)/2 - 1/2 i) * (x + sqrt(3)/2 - 1/2 i) * (x + sqrt(3)/2 + 1/2 i)$
infine arriviamo alla fattorizzazione su $RR$:
$x^4 - x^2 + 1 = (x^2 - sqrt(3) x + 1) * (x^2 + sqrt(3) x + 1)$
Ringrazio tutti per le spiegazioni
Prego!
Sono nuovamente in difficolta' con un esercizio...
$((2x^3+x)/(x^2+2))>x^2$
dopo qualche operazione arrivo a:
$((x^4-2x^3+2x^2-x)/(x^2+2))<0$
il numeratore riesco a scomporlo come:
$x(x-1)(x^2-x+1)$
mentre il denominatore non si puo' scomporre e posso associare qualsiasi valore alla x in quanto non lo azzera mai. Visto che e' una disequazione fratta ho fatto lo studio dei segni, ma arrivo a trovare che e' verificata per valori minori di 1, mentre il libro da alla x valori tra 0 e 1.
$((2x^3+x)/(x^2+2))>x^2$
dopo qualche operazione arrivo a:
$((x^4-2x^3+2x^2-x)/(x^2+2))<0$
il numeratore riesco a scomporlo come:
$x(x-1)(x^2-x+1)$
mentre il denominatore non si puo' scomporre e posso associare qualsiasi valore alla x in quanto non lo azzera mai. Visto che e' una disequazione fratta ho fatto lo studio dei segni, ma arrivo a trovare che e' verificata per valori minori di 1, mentre il libro da alla x valori tra 0 e 1.
I polinomi $x^2+2$ e $x^2-x+1$ non si annullano mai.
Poiché hanno il coeff di $x^2$ positivo il loro segno è sempre positivo.
Poiché hanno il coeff di $x^2$ positivo il loro segno è sempre positivo.
Quindi il fatto che la disequazione sia minore di zero non importa in questo caso?
Se i coefficienti di $x^2$ fossero stati negativi allora la mia soluzione sarebbe stata corretta?
Grazie
Se i coefficienti di $x^2$ fossero stati negativi allora la mia soluzione sarebbe stata corretta?
Grazie
La tua disequazione
$((x^4-2x^3+2x^2-x)/(x^2+2))<0$
può essere scritta nel modo seguente:
$( x(x-1)(x^2-x+1) )/(x^2 + 2) < 0$
poiché i polinomi $(x^2-x+1)$ e $(x^2+2)$
sono sempre positivi, il segno della frazione
è determinato solo dal segno di $x(x-1)$ .
$((x^4-2x^3+2x^2-x)/(x^2+2))<0$
può essere scritta nel modo seguente:
$( x(x-1)(x^2-x+1) )/(x^2 + 2) < 0$
poiché i polinomi $(x^2-x+1)$ e $(x^2+2)$
sono sempre positivi, il segno della frazione
è determinato solo dal segno di $x(x-1)$ .
ho capito. Ancora grazie
Prego.
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