Dal grafico della tangente alla sua equazione
Buonasera a tutti, appassionati di matematica. Ancora una volta mi rivolgo a voi per chiedere il vostro aiuto su un problema che mi assilla. Dato il grafico di una funzione tangentoide devo ricavare la sua equazione che sarà, dunque, del seguente tipo: $ f(x)=Atan (omega x+varphi )+B $. Il grafico è il seguente:
Ecco ciò che conosco del grafico: i due asintoti verticali blu e rosso hanno equazioni, rispettivamente, $ x=-pi/3 $ e $ x=5/3pi $. Non ho altri dati se non quelli ricavabili direttamente dall'immagine inviata. Ora, dagli asintoti e dal grafico ho ricavato il periodo $T$ come distanza tra due asintoti consecutivi e dunque $T=|5/3pi+pi/3|=2pi$ e, da esso, $omega=pi/T=pi/(2pi)=1/2$. Successivamente ho ricavato $varphi=-pi/3$ e $B=0$ poiché il flesso si trova ancora sull'asse x così come nel grafico $f(x)=tan(x)$. Ora il problema è trovare $A$ che dovrebbe essere $A=-1$; il segno $-$ è presto spiegato, in quanto il grafico dato è simmetrico del grafico base della tangente, ma come faccio a trovare il valore 1 senza ulteriori dati ? Mi sorge il dubbio che ciò non sia possibile. Se conoscessi un punto del grafico (ad esempio l'intersezione con l'asse y) potrei sostituirlo all'interno dell'equazione trovata finora ($f(x)=Atan(x/2-pi/3)$) e da qui ricavare facilmente $A$. Tuttavia non mi viene dato alcun punto. Se avessi una funzione $sen$ o $cos$ la $A$ coinciderebbe con l'ampiezza del grafico, ma con la tangente come posso (se posso) ricavare $A$ direttamente dal grafico ? Gli unici dati a mia disposizione sono le equazioni dei due asintoti e tutto ciò che riesco a ricavare dal grafico.
Ringrazio sin da ora quanti sapranno aiutarmi a risolvere questo problema.
Ecco ciò che conosco del grafico: i due asintoti verticali blu e rosso hanno equazioni, rispettivamente, $ x=-pi/3 $ e $ x=5/3pi $. Non ho altri dati se non quelli ricavabili direttamente dall'immagine inviata. Ora, dagli asintoti e dal grafico ho ricavato il periodo $T$ come distanza tra due asintoti consecutivi e dunque $T=|5/3pi+pi/3|=2pi$ e, da esso, $omega=pi/T=pi/(2pi)=1/2$. Successivamente ho ricavato $varphi=-pi/3$ e $B=0$ poiché il flesso si trova ancora sull'asse x così come nel grafico $f(x)=tan(x)$. Ora il problema è trovare $A$ che dovrebbe essere $A=-1$; il segno $-$ è presto spiegato, in quanto il grafico dato è simmetrico del grafico base della tangente, ma come faccio a trovare il valore 1 senza ulteriori dati ? Mi sorge il dubbio che ciò non sia possibile. Se conoscessi un punto del grafico (ad esempio l'intersezione con l'asse y) potrei sostituirlo all'interno dell'equazione trovata finora ($f(x)=Atan(x/2-pi/3)$) e da qui ricavare facilmente $A$. Tuttavia non mi viene dato alcun punto. Se avessi una funzione $sen$ o $cos$ la $A$ coinciderebbe con l'ampiezza del grafico, ma con la tangente come posso (se posso) ricavare $A$ direttamente dal grafico ? Gli unici dati a mia disposizione sono le equazioni dei due asintoti e tutto ciò che riesco a ricavare dal grafico.
Ringrazio sin da ora quanti sapranno aiutarmi a risolvere questo problema.
Risposte
Qualitativamente:
più che una tangente mi sembra una cotangente, che, come la maggior parte delle funzioni trigonometriche, ha periodo $2\pi + K$
Io comincerei ad applicare una traslazione dell'asse $y$, portando il punto $x=0$ a coincidere con l'attuale $x=-(\pi)/3$.
Un passo alla volta……………..
più che una tangente mi sembra una cotangente, che, come la maggior parte delle funzioni trigonometriche, ha periodo $2\pi + K$
Io comincerei ad applicare una traslazione dell'asse $y$, portando il punto $x=0$ a coincidere con l'attuale $x=-(\pi)/3$.
Un passo alla volta……………..
La tangente e la cotangente, come il seno e il coseno, possono essere trasformati uno nell'altro attraverso una trasformazione lineare. Quindi sia il procedimento di BayMax che quello di teorema55 possono considerarsi corretti. Il problema è che senza un punto è difficile stabilire il coefficiente A della funzione. Guardando il grafico, mi pareva che il punto $(-pi/6, 4)$ appartenesse alla funzione, ma in tal caso viene $A= -4(2-sqrt3)~= -1,071796....$. Quasi buono. Concordo con BayMax, serve un punto fissato per determinare il coefficiente.
"@melia":
La tangente e la cotangente, come il seno e il coseno, possono essere trasformati uno nell'altro attraverso una trasformazione lineare. Quindi sia il procedimento di BayMax che quello di teorema55 possono considerarsi corretti. Il problema è che senza un punto è difficile stabilire il coefficiente A della funzione. Guardando il grafico, mi pareva che il punto $ (-pi/6, 4) $ appartenesse alla funzione, ma in tal caso viene $ A= -4(2-sqrt3)~= -1,071796.... $. Quasi buono. Concordo con BayMax, serve un punto fissato per determinare il coefficiente.
Ringrazio ancora una volta @melia per essere stata precisa e puntuale nella risposta. Dunque, posso solo supporre che l'autore dell'esercizio abbia dato per scontato il coefficiente $A$ dell'esercizio. Non vedo davvero altra spiegazione per poter giungere ad $A=-1$ dai dati del problema, se non un'approssimazione come suggerita da @melia prendendo un punto che si avvicini il più possibile al grafico dato.
"teorema55":
Qualitativamente:
più che una tangente mi sembra una cotangente, che, come la maggior parte delle funzioni trigonometriche, ha periodo $ 2\pi + K $
Io comincerei ad applicare una traslazione dell'asse $ y $, portando il punto $ x=0 $ a coincidere con l'attuale $ x=-(\pi)/3 $.
Un passo alla volta……………..
Ringrazio anche teorema55 per aver risposto alla mia domanda. Da quanto ho capito suggerisci di effettuare la trasformazione $ { ( x'=x+pi/3 ),( y'=y ):} $. E successivamente ? Come consiglieresti di procedere ? Mi rendo conto di essere molto fastidioso, ma vorrei chiederti cortesemente di illustrarmi tutti i passaggi che faresti per giungere alla soluzione del problema. Se non vorrai rispondere capirò benissimo e ti ringrazio comunque per essere stato disponibile ed aver risposto alla mia domanda.
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