Da esponenziali a logaritmiche
Ciao a tutti, mi sono trovato davanti ad un esercizio che non ho mai visto prima e non riesco ad impostare per la risoluzione, e chiedo una mano per impostarne il ragionamento.
Il testo del es. dice:
Con l'uso delle tavole logaritmiche, o del calcolatore, risolvere le seguenti equazioni esponenziali:
$3^(2x)*5^(4x-1)=20$
il risultato che da il testo è $1/(log 75)$
Come si imposta un esercizio del genere. Chiedo aiuto in quabto sul testo in mio possesso non ho trovato nessuna spiegazione
Grazie
Ciao
Il testo del es. dice:
Con l'uso delle tavole logaritmiche, o del calcolatore, risolvere le seguenti equazioni esponenziali:
$3^(2x)*5^(4x-1)=20$
il risultato che da il testo è $1/(log 75)$
Come si imposta un esercizio del genere. Chiedo aiuto in quabto sul testo in mio possesso non ho trovato nessuna spiegazione
Grazie
Ciao
Risposte
Puoi scrivere il testo così, usando le proprietà delle potenze:
$3^{2x} \frac{(5^{2})^{2x}}{5} = 20$
quindi
$3^{2x} 25^{2x} = 100$
ovvero
$75^{2x} = 100$
$2x = \log_{75} 100$
$x = \frac{1}{2} \log_{75} 100$, quindi $x=\log_{75} 10$
Ovviamente $\log_{75} 10 = \frac{\log_{10} 10}{\log_{10} 75} = \frac{1}{\log_{10} 75}$ usando la proprietà dei logaritmi secondo la quale:
$\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$ per $a,c>0, a,c \ne 1, b>0$.
$3^{2x} \frac{(5^{2})^{2x}}{5} = 20$
quindi
$3^{2x} 25^{2x} = 100$
ovvero
$75^{2x} = 100$
$2x = \log_{75} 100$
$x = \frac{1}{2} \log_{75} 100$, quindi $x=\log_{75} 10$
Ovviamente $\log_{75} 10 = \frac{\log_{10} 10}{\log_{10} 75} = \frac{1}{\log_{10} 75}$ usando la proprietà dei logaritmi secondo la quale:
$\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$ per $a,c>0, a,c \ne 1, b>0$.
Grazie mille, ora potrò avere un sonno sereno. Ho capito il procedimento!
un doppio grazie per l'ora tarda!
un doppio grazie per l'ora tarda!
Prego, buonanotte! 
Ciao a tutti, continuo la discussione con un esercizio che ho impostatro e non riesco a finire sulle battute finali ( o almeno credo! 
)
$sqrt{8^x}+4*2^(-1/2*x)=5*2^(1/2*x)
ho raccolto $-x/2$ ho saltato alcuni passaggi che ho fatto per non tediarvi
$2^(-x/2)*(2^(2x)+4)=5*2^(x/2)$
che ridotta
$(2^(-x/2)*(2^(2x)+4))/2^(x/2)=5
ora semplificando il tutto risulta
$2^(x)+(4/2^x)=5$
ora?
il procedimento fin qui penso sia corretto, ma non arrivo ad ottenere l incognita (o le incognite) e chiedo un spintarella per arrivarci in fondo.
Grazie a tutti
Ciao
) $sqrt{8^x}+4*2^(-1/2*x)=5*2^(1/2*x)
ho raccolto $-x/2$ ho saltato alcuni passaggi che ho fatto per non tediarvi
$2^(-x/2)*(2^(2x)+4)=5*2^(x/2)$
che ridotta
$(2^(-x/2)*(2^(2x)+4))/2^(x/2)=5
ora semplificando il tutto risulta
$2^(x)+(4/2^x)=5$
ora?
il procedimento fin qui penso sia corretto, ma non arrivo ad ottenere l incognita (o le incognite) e chiedo un spintarella per arrivarci in fondo.
Grazie a tutti
Ciao
Ora m.c.d:
$2^(2x)-5*2^x+4=0$
$2^(2x)-5*2^x+4=0$
poi devo raccogliere?
"homer":
poi devo raccogliere?
No. Poi poni $2^x=t$ ed hai una semplice equazione di secondo grado.
ok, grazie
pongo un parametro, che addormentato, ne avevo visti così su alcuni esercizi di esempio
Grazie mille.
Ciao
pongo un parametro, che addormentato, ne avevo visti così su alcuni esercizi di esempio
Grazie mille.
Ciao
Ho posto
$2^(2x)-5*2^x+4=0$
ho posto $2^x=t$ ed ho risolto l'equazione di secondo grado. Il problema è che il risultato dell'equazione di secondo grado da come risultato $(4,1)$, mentre la soluzione sul testo è $(0,2)$.
Ho verificato con derive l'ultima equazione che ho scritto sopra( cioè quella ancora in forma esponenziale) e il risultato è appunto quello del testo $(0,2)$.
L'equazione esponenziale ora risulta:$t^2-5t+4=0$, giusto
Cosa posso avere sbagliato?
Grazie a tutti, Ciao
$2^(2x)-5*2^x+4=0$
No. Poi poni $2^x=t$ ed hai una semplice equazione di secondo grado.
ho posto $2^x=t$ ed ho risolto l'equazione di secondo grado. Il problema è che il risultato dell'equazione di secondo grado da come risultato $(4,1)$, mentre la soluzione sul testo è $(0,2)$.
Ho verificato con derive l'ultima equazione che ho scritto sopra( cioè quella ancora in forma esponenziale) e il risultato è appunto quello del testo $(0,2)$.
L'equazione esponenziale ora risulta:$t^2-5t+4=0$, giusto
Cosa posso avere sbagliato?
Grazie a tutti, Ciao
L'equazione in $t $ è corretta e le sue radici sono appunto : $4,1 $.
Ma l'equazione originaria è in $x $ e adesso devi "tornare indietro " e ricordare che $t=2^x $ .
Dovrai quindi risolvere le equazioni :
$2^x = 1 $ che fornisce la soluzione $ x = 0$ e anche
$2^x=4 $ che dà : $x=2 $.
Ma l'equazione originaria è in $x $ e adesso devi "tornare indietro " e ricordare che $t=2^x $ .
Dovrai quindi risolvere le equazioni :
$2^x = 1 $ che fornisce la soluzione $ x = 0$ e anche
$2^x=4 $ che dà : $x=2 $.
Giusto, non mi ero accorto che ponendo $2^x=t$, avrei poi dovuto trasformare appunto i valori trovati con l'incognita $t$, come termini noti di due equazioni la cui incognita era $2^x$.
Spero di aumentare la mia flessibilità nel calcolo
Grazie mille.
Ciao
Spero di aumentare la mia flessibilità nel calcolo
Grazie mille.
Ciao
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