Cuspidi e flessi

[Aletzunny1]

Ciao ragazzi ho capito la parte teorica sulle cuspidi e sui flessi ma non ho capito il collegamento che esiste tra queste e il grafico della funzione.
Per esempio prendendo
$y=sqrt(|x|)$
Facendo i limiti per $x->0^-$ e $x->0^+$ ottengo rispettivamente $-infty$ e $+infty$.

Ora ho capito che i due risultati dei limiti indicano come si comporta il coefficiente angolare della derivata e quindi la tangente!
Quello che non ho capito è invece come viene influenzata la pendenza della funzione quando si avvicina al punto critico.
Sempre rimanendo nell'esempio dato ho capito che per $x->0^+$ l'$m$ della tangente tende sempre verso $+infty$ e quindi arriva sempre più vicina all'$asse y$.Questo però cosa mi comporta nel disegno della funzione $y=sqrt(|x|$ e nella pendenza della funzione? È questo il punto che non ho capito bene.

Grazie

[StellaMartensitica]

"Aletzunny":punto critico

Punto critico sarebbe quello dove la derivata è nulla, e questo non è il caso della cuspide.

La cuspide è un punto di non derivabilità che di fatto si presenta come una punta di lancia. Nel tuo caso hai due rami di parabola. In pratica se fai il grafico del tuo esempio consideri i rami di parabola contenuti nel I e II quadrante e raccordati in zero di:

$\gamma_1 : x=y^2$
$\gamma_2 : x=-y^2$

In generale una cuspide, per l'appunto dal latino "cuspis" (come scrivono tutti i libri di matematica) si presenta come una "punta di lancia".

$y=x^(2/3)$ è un altro esempio di funzione che ha una cuspide in zero.

$y=(x-x_0)^(2/3)$ è un esempio di funzione che ha una cuspide in $x_0$.

Oltre che saper disegnare una cuspide devi saper distinguere, conoscendo i due limiti:

$lim_(x->x_0^+)f'(x)$

$lim_(x->x_0^-)f'(x)$

(dove $x_0$ è un punto di cuspide)

tra una cuspide rivolta verso l'alto e una cuspide rivolta verso il basso.

La cuspide rivolta verso il basso è quella di tutti gli esempi che ho riportato fino ad adesso.
La cuspide rivolta verso l'alto è quella, per esempio, di questa funzione:

$y=-(x-x_0)^(4/5)$ che ha una cuspide rivolta verso l'alto in $x_0$.
Basta che noti da che parte "indica" la punta.

[Aletzunny1]

Grazie

[StellaMartensitica]

Figurati. Io ho orientato il mio apporto alla discussione soprattutto alla risoluzione degli esercizi. Chiaramente la cuspide come oggetto non è da confondere con la freccia di un cartello stradale come ho fatto io.