Cuspide o tangente verticale?

[papageno1]

Ho un dubbio su un problema riguardante la derivabilità delle funzioni. Il problema chiede di studiare la derivabilità della funzione $f(x) = sqrt(5 – x)$ sul campo reale. Il punto “critico” è $x=5$ perchè la funzione è definita e continua su $( - \infty, 5]$ mentre la derivata della funzione $f'(x)=-\frac{1}{2 sqrt(5-x)}$ ha come dominio dominio l'nsieme $(- \infty , 5)$. Ora $lim_{x to 5^{-}} f'(x) = -\infty$ per cui io sarei tentato di dire che la funzione non è derivabile in $x = 5$, poichè ha ivi tangente verticale. Secondo il libro, in cui ho letto ilproblema, si tratterebbe di una cuspide poichè $lim_{x to 5^{+}} f'(x) = +\infty$. A me sembra sbagliato perchè $x = 5^{+}$ è fuori dal dominio della derivata e quindi il limite non dovrebbe essere calcolabile. E' anche vero che sul campo complesso la soluzione sarebbe giusta ma qui siamo sul campo reale, quindi non sono sicuro che sia giusto . Qualcuno sa chiarirmi questo dubbio? Grazie in anticipo.

[axpgn]

Quanto vale la funzione in quel punto?
Non guardare solo la derivata.

[papageno1]

La funzione vale ovviamente $0$ in $x = 5$. Ma se la funzione vale $0$ in $x = 5$ e “a mio parere” è possibile effettuare solo il calcolo del limite sinstro del rapporto incrementale che risulta infinito, la funzione non è derivabile in $x = 5$ ed in particolare presenta in quel punto tangente verticale e non un punto di cuspide. Questo è il mio ragionamento probabilmente sbagliato (non capisco proprio come si possa calcolare il limite destro del rapporto incrementale e stabilire che $x = 5$ è un punto di cuspide ).

[giammaria2]

Confesso di non capire la risposta di axpgn; quanto alla domanda di papageno concordo nel dire che il libro sbaglia. Per $x>5$ la funzione non esiste e quindi anche la sua derivata non esiste; non vedo poi nessun ragionamento (neanche criticabilissimo) che conduca a $lim_(x->5^+)f'(x)=+oo$.
La risposta è: in $x=5$ la funzione non è derivabile in totale perché la derivata destra non può esistere; inoltre non è derivabile neanche solo a sinistra perché lì la tangente si dispone in verticale.

Mi sto naturalmente limitando al campo reale, l'unico che rientra nel programma della secondaria.

[axpgn]

"giammaria":... non vedo poi nessun ragionamento (neanche criticabilissimo) che conduca a $lim_(x->5^+)f'(x)=+oo$.

Beh, uno criticabilissimo c'è ...
"Estendi" la funzione usando il valore assoluto così $f(x)=sqrt(|5-x|)$ e torna sia il limite che la cuspide.
Ho "interpretato" le intenzioni dell'autore (come fanno in tanti nella gara di logica, permettetemi la battuta ... )

Cordialmente, Alex

[papageno1]

Vi ringrazio per le risposte ! Iniziavo ad avere dubbi sulla mia comprensione dell'argomento derivate! Ora mi sento più sicuro di me stesso!