Curve goniometriche

[melani.iaconisi]

come devo fare per disegnare il grafico della funzione
$ f(x):-4cos ^2x-4cosx+9 $
grazie in anticipo

[burm87]

Credo che la strada più sicura sia fare un classico studio di funzione, quindi calcolarti intersezioni con gli assi, positività, eventuali simmetrie, derivate (se le hai fatte).

[vict85]

Devi farlo usando le trasformazioni geometriche oppure analiticamente?

[melani.iaconisi]

le derivate non le ho ancora studiate poichè frequento il quarto liceo scientifico

[melani.iaconisi]

sul libro dice che dalla funzione sopra riportata si ottiene la seguente: $ -4(cosx+1/2)^2+10 $
come faccio ad ottenerla?

[Shocker1]

Ciao

"maroon5":sul libro dice che dalla funzione sopra riportata si ottiene la seguente: $ -4(cosx+1/2)^2+10 $
come faccio ad ottenerla?

Con il completamento del quadrato:
$-4cos ^2x-4cosx+9 = -4cos^2x - 4cosx + 9 +1 -1 = (-4cos^2x - 4cosx - 1) + 9 + 1 = -4(cos^2x + cosx +1/4) + 10$
Ora: $(cos^2x + cosx +1/4) = (cosx + 1/2)^2$
quindi: $-4(cos^2x + cosx +1/4) + 10 = -4(cosx + 1/2)^2 + 10$

Comunque, conosci le trasformazioni geometriche? Se ti chiedessi di disegnare $g(x) = cos(x) + 1/2$, lo sapresti fare?

[melani.iaconisi]

Certo

[melani.iaconisi]

"vict85":Devi farlo usando le trasformazioni geometriche oppure analiticamente?

con le trasformazioni geometriche

[Shocker1]

Riesci a dedurre il grafico di $(cos(x)+1/2)^2$ da quello di $cos(x)+1/2$?

[melani.iaconisi]

"Shocker":Riesci a dedurre il grafico di $ (cos(x)+1/2)^2 $ da quello di $ cos(x)+1/2 $?

è questo ciò che non riesco a capire..

[Shocker1]

"maroon5":[quote="Shocker"]Riesci a dedurre il grafico di $ (cos(x)+1/2)^2 $ da quello di $ cos(x)+1/2 $?

è questo ciò che non riesco a capire.. [/quote]
Va bene provo a spiegarti, in generale, come dedurre l'andamento di $f^2(x)$ conoscendo $f(x)$.
$f(x) = cos(x) + 1/2$

Prima di tutto si disegna il grafico di $|f(x)|$, sai come si fa? Se si passa avanti, altrimenti apri lo spoiler:

Basta ribaltare la parte negativa di $f(x)$, nel nostro caso il grafico di $f(x)$ è:

[asvg]xmin=-6.28; xmax=6.28;
ymin=-1/2; ymax = 3/2;
axes("labels");
stroke="black";
plot("cos(x) + 1/2");[/asvg]
Quindi quello di $|f(x)|$ sarà:
[asvg]xmin=-6.28; xmax=6.28;
ymin=0; ymax = 3/2;
axes("labels");
stroke="black";
plot("abs(cos(x) + 1/2)");[/asvg]

Dunque una volta disegnato il grafico di $|f(x)|$ facciamo delle osservazioni:

1)$|f(x)|$ è limitata, infatti $ 0 <= f(x) <= 3/2$, ne segue che anche $f^2(x)$ è limitata: $0 < f^2(x) < (3/2)^2$;

2)se $0 < |f(x)| < 1$ allora $f^2(x) < |f(x)|$, da un punto di vista grafico ciò significa che il grafico di $f^2(x)$ sta "sotto" il grafico di $|f(x)|$ quando $|f(x)|$ restituisce valori compresi tra $0$ e $1$(esclusi);

3) se $|f(x)| > 1$ allora $f^2(x) > |f(x)|$, ciò significa che il grafico di $f^2(x)$ sta "sopra" quello di $|f(x)|$ quando |f(x)| è maggiore di 1;

4)se $|f(x)| = 0$ allora anche $f^2(x) = 0$, se $|f(x)| = 1$ allora anche $f^2(x) = 1$.[/list:u:18nxekge]

In base a queste osservazioni è possibile costruire un grafico qualitativo di $(cos(x) + 1/2)^2$.


Ma in pratica cosa devi fare?
Devi disegnare un grafico più basso rispetto a $|cos(x) + 1/2|$ quando $ 0 < |cos(x) + 1/2| < 1$.
Devi disegnare un grafico più alto rispetto a $|cos(x) + 1/2|$ quando $|cos(x) + 1/2| > 1$
Quando $|cos(x) + 1/2| = 1$ oppure $|cos(x) + 1/2| = 0$ le due curve($|cos(x) + 1/2|$ e $(cos(x) + 1/2)^2$) si intersecano.
Ricordati che la funzione è limitata!!

Metto il grafico di $|cos(x) + 1/2|$(disegnato in nero) e quello di $(cos(x) + 1/2)^2$(disegnato in blu) in spoiler:

[asvg]ymin=0; ymax = 9/4;
axes("labels");
stroke="black";
plot("abs(cos(x) + 1/2)");
stroke = "blue";
plot(" (cos(x) + 1/2)^2");[/asvg]
Come vedi quando $|f(x)| < 1$, il grafico di $f^2(x)$ sta sotto quello di $|f(x)|$.
Quando $|f(x)| > 1$, il grafico di $f^2(x)$ sta sopra quello di $|f(x)|$.
Infine, i due grafici si intersecano quando $|f(x)| = f^2(x) = 1$ e |$f(x)| = f^2(x) = 0$


Spero di non averti confuso e di essere stato chiaro.

Ciao

[melani.iaconisi]

grazie 1000, mi sei stato di grande aiuto (y)
ma di quanto deve essere più basso o più alto?

[Shocker1]

"maroon5":grazie 1000, mi sei stato di grande aiuto (y)
ma di quanto deve essere più basso o più alto?

Ti conviene trovare qualche punto di $f^2(x)$ osservando il grafico di $|f(x)|$ e tenendo presente le osservazioni di prima.