Curve coniche: circonferenza
Ciao raga non riesco a capire questi tipi di problemi...se potete aiutatemi che domani c'è il compito e non si sa se ce li mette
Trovare l'equazione della circonferenza $gamma$ avente il centro appartenente alla retta $y+11=3x$ e tangente alla rette $y+3=0$ e $y-5=0$
l'unica cosa che so in questi casi è che nel sistema $gamma$/retta i risultati devono essere coincidenti (sia di x che di y) e che il punto C è equidistante dalle 2 rette (non devo però utilizzare il metodo della distanza punto/retta)
se non avete voglia di fare i conti sarei felicissimo e lietissimo anche solo di un piccolo aiuto
Trovare l'equazione della circonferenza $gamma$ avente il centro appartenente alla retta $y+11=3x$ e tangente alla rette $y+3=0$ e $y-5=0$
l'unica cosa che so in questi casi è che nel sistema $gamma$/retta i risultati devono essere coincidenti (sia di x che di y) e che il punto C è equidistante dalle 2 rette (non devo però utilizzare il metodo della distanza punto/retta)
se non avete voglia di fare i conti sarei felicissimo e lietissimo anche solo di un piccolo aiuto
Risposte
che vuol dire ' i risultati devono essere coincidenti' ?
che la condizione di tangenza è che nel sistema i risultati di x e y devono essere coincidenti se no è una secante (oppure è esterna se non è reale)
stavo pensando che se ci fosse un modo per calcolare la bisettrice delle due rette saresti a posto (credo)...
ma non mi ricordo se e' fattibile calcolarla ...
cmq tu hai qualche abbozzo di procedimento gia' pronto?
ma non mi ricordo se e' fattibile calcolarla ...
cmq tu hai qualche abbozzo di procedimento gia' pronto?
azz.
mi accorgo solo ora che le due rette tangenti sono rette parallele all'asse delle x
questo risolve tutto
mi accorgo solo ora che le due rette tangenti sono rette parallele all'asse delle x
questo risolve tutto
allora mi sapresti aiutare??
se si te ne sarei grato infinitamente!
se si te ne sarei grato infinitamente!
cioe' e' chiaro che il centro della circonferenza deve giacere sulla retta (chiamiamola r) che sta ' esattamente in mezzo ' alle due tangenti ed e' ad esse parallela.
a qst punto basta che metti a sistema la retta r e quella (su cui deve giacere il centro ) data dal problema e trovi le coordinate del centro.
non so se e' un metodo abbastanza scientifico o troppo naif.
alex
a qst punto basta che metti a sistema la retta r e quella (su cui deve giacere il centro ) data dal problema e trovi le coordinate del centro.
non so se e' un metodo abbastanza scientifico o troppo naif.
alex
ma la retta in cui si trova la C non è parallela alle tangenti
un punto puo' ben trovarsi su due rette distinte (ma incidenti)!
cioe' devi fare il sistema tra le due condizioni
1) il Centro si trova sulla retta data dalproblema
2)il Centro si trova sulla retta r (descritta ne mio post precedente)
l'unico punto che soddisfa ' contemporaneamente ' queste due condizioni e' il centro.
ti torna?
cioe' devi fare il sistema tra le due condizioni
1) il Centro si trova sulla retta data dalproblema
2)il Centro si trova sulla retta r (descritta ne mio post precedente)
l'unico punto che soddisfa ' contemporaneamente ' queste due condizioni e' il centro.
ti torna?
concettualmente ho capito, algembricamente un po meno
cmq potrebbero capitarmi anche 2 rette non parallele...a quel punto come faccio??
cmq potrebbero capitarmi anche 2 rette non parallele...a quel punto come faccio??
se ti capitano due rette non parallele io farei cosi':
il centro deve stare su:
y+11=3x
quindi il centro e' un punto del tipo:
C( x , 3x-11)
poi calcoli
distanza di C dalla retta tangente 1
distanza di C dalla retta tangente 2
n.b.:non so bene come si esprime la dist. punto retta ma a naso direi che in una devi cosnsiderare che il punto sta sopra e nell'altra che il punto sta sotto (lo puo icapire disegnando le 3 rette credo)
dopodiche ' devi uguagliare le 2 distanze trovate e risolvere l'equazione in x
una volta trovata la x che risolve l'equazione la metti nell'espressione di C scritta prima e trovi il centro.
. poi con una delle distanze trovate prima trovi anche il raggio
ora devo uscire
p.s.:ho scritto di fretta e non ti assicuro della totale giustezza del mio ragionamento pero' credo dovrebbe funzionare
ciao e in bocca al lupo.
alex
il centro deve stare su:
y+11=3x
quindi il centro e' un punto del tipo:
C( x , 3x-11)
poi calcoli
distanza di C dalla retta tangente 1
distanza di C dalla retta tangente 2
n.b.:non so bene come si esprime la dist. punto retta ma a naso direi che in una devi cosnsiderare che il punto sta sopra e nell'altra che il punto sta sotto (lo puo icapire disegnando le 3 rette credo)
dopodiche ' devi uguagliare le 2 distanze trovate e risolvere l'equazione in x
una volta trovata la x che risolve l'equazione la metti nell'espressione di C scritta prima e trovi il centro.
. poi con una delle distanze trovate prima trovi anche il raggio
ora devo uscire
p.s.:ho scritto di fretta e non ti assicuro della totale giustezza del mio ragionamento pero' credo dovrebbe funzionare
ciao e in bocca al lupo.
alex
"Sheker":
concettualmente ho capito, algembricamente un po meno
cmq potrebbero capitarmi anche 2 rette non parallele...a quel punto come faccio??
Allora, l'equazione della bisettrice la dovresti aver fatta e sai che date 2 rette esistono 2 bisettrici, tra loro perpendicolari, dato che due rette individuano 4 angoli a due a due opposti al vertice.
Quindi, se ti dovesse capitare un problema del genere, sappi che il centro è dato dall'intersezione della retta data dal problema con la/e bisettrice/i delle altre due rette date. Alla fine avrai due centri e quindi due circonferenze.
1)Il centro ha coordinate $C=(x,3x-11)$ visto che si trova sulla retta $y=3x-11$.
Il raggio di tale circonferenza è dato dalla distanza tra il centro ed il punto di tangenza, ed è possibile calcolarlo con la formula della distanza punto-retta. In tal caso chiamiamo con $r_1$ il raggio ottenuto con la distanza punto-retta dalla retta di equazione $y+3=0$ e con $r_2$ il raggio ottenuto con la distanza punto-retta dalla retta di equazione $y-5=0$. Ovviamente imporremo $r_1=r_2$. Ora
$r_1=|3x-11+3|=|3x-8|$ ed $r_2=|3x-11-5|=|3x-16|$. quindi
$r_1=r_2->|3x-8|=|3x-16|$ cioè dobbiamo risolvere un'equazione con i valori assoluti. Per risolvere questa equazione, vanno considerati 3 intervalli
1)$(-infty,8/3)$: in tale intervallo $|3x-8|=8-3x,|3x-16|=16-3x$ per cui l'equazione diventa $8-3x=16-3x$ cioè è impossibile;
2)$(16/3,+infty)$: in tale intervallo $|3x-8|=3x-8,|3x-16|=3x-16$ per cui l'equazione diventa $3x-8=3x-16$ cioè è impossibile;
3)$(8/3,16/3)$: in tale intervallo $|3x-8|=3x-8,|3x-16|=16-3x$ e l'equazione diventa $3x-8=16-3x->6x=24->x=4$ accettabile.
Per cui il centro è $C=(4,1)$ cui corrisponde $r_1=r_2=4$ per cui l'equazione della circonferenza è
$(x-4)^2+(y-1)^2=16->x^2+y^2-8x-2y+1=0$
2) Un altro modo per procedere è questo. L'equazione della circonferenza è $x^2+y^2+ax+by+c=0$ il cui centro è $C=(-a/2,-b/2)$ e le coordinate soddisfano la condizione $-b/2=-3/2*a-11->b=3a+22$ perchè il centro si trova sulla retta $y=3x-11$. Quindi l'equazione della cironferenza diventa $x^2+y^2+ax+(3a+22)y+c=0$.
Ora sappiamo che $y=-3,y=5$ sono due tangenti per cui imponiamo che i determinanti dei due sistemi seguenti siano nulli per la condizione di tangenza:
${(x^2+y^2+ax+(3a+22)y+c=0),(y=-3):}$->$x^2+ax+(c-57-9a)=0$ ed imponendo $Delta=0->a^2+36a+228-4c=0$
${(x^2+y^2+ax+(3a+22)y+c=0),(y=5):}$->$x^2+ax+(c+15a+135)=0$ ed imponendo $Delta=0->a^2-60a-540-4c=0$
Quindi si hanno due condizioni $a^2+36a+228-4c=0,a^2-60a-540-4c=0$ e sottraendo membro a membro si ha
$a^2+36a+228-4c-(a^2-60a-540-4c)=0->96a+768=0->a=-8$ da cui $b=3a+22=-2,c=(a^2-60a-540)/4=1$ da cui l'equazione della circonferenza è $x^2+y^2-8x-2y+1=0$ come trovato con l'altro metodo.
Il raggio di tale circonferenza è dato dalla distanza tra il centro ed il punto di tangenza, ed è possibile calcolarlo con la formula della distanza punto-retta. In tal caso chiamiamo con $r_1$ il raggio ottenuto con la distanza punto-retta dalla retta di equazione $y+3=0$ e con $r_2$ il raggio ottenuto con la distanza punto-retta dalla retta di equazione $y-5=0$. Ovviamente imporremo $r_1=r_2$. Ora
$r_1=|3x-11+3|=|3x-8|$ ed $r_2=|3x-11-5|=|3x-16|$. quindi
$r_1=r_2->|3x-8|=|3x-16|$ cioè dobbiamo risolvere un'equazione con i valori assoluti. Per risolvere questa equazione, vanno considerati 3 intervalli
1)$(-infty,8/3)$: in tale intervallo $|3x-8|=8-3x,|3x-16|=16-3x$ per cui l'equazione diventa $8-3x=16-3x$ cioè è impossibile;
2)$(16/3,+infty)$: in tale intervallo $|3x-8|=3x-8,|3x-16|=3x-16$ per cui l'equazione diventa $3x-8=3x-16$ cioè è impossibile;
3)$(8/3,16/3)$: in tale intervallo $|3x-8|=3x-8,|3x-16|=16-3x$ e l'equazione diventa $3x-8=16-3x->6x=24->x=4$ accettabile.
Per cui il centro è $C=(4,1)$ cui corrisponde $r_1=r_2=4$ per cui l'equazione della circonferenza è
$(x-4)^2+(y-1)^2=16->x^2+y^2-8x-2y+1=0$
2) Un altro modo per procedere è questo. L'equazione della circonferenza è $x^2+y^2+ax+by+c=0$ il cui centro è $C=(-a/2,-b/2)$ e le coordinate soddisfano la condizione $-b/2=-3/2*a-11->b=3a+22$ perchè il centro si trova sulla retta $y=3x-11$. Quindi l'equazione della cironferenza diventa $x^2+y^2+ax+(3a+22)y+c=0$.
Ora sappiamo che $y=-3,y=5$ sono due tangenti per cui imponiamo che i determinanti dei due sistemi seguenti siano nulli per la condizione di tangenza:
${(x^2+y^2+ax+(3a+22)y+c=0),(y=-3):}$->$x^2+ax+(c-57-9a)=0$ ed imponendo $Delta=0->a^2+36a+228-4c=0$
${(x^2+y^2+ax+(3a+22)y+c=0),(y=5):}$->$x^2+ax+(c+15a+135)=0$ ed imponendo $Delta=0->a^2-60a-540-4c=0$
Quindi si hanno due condizioni $a^2+36a+228-4c=0,a^2-60a-540-4c=0$ e sottraendo membro a membro si ha
$a^2+36a+228-4c-(a^2-60a-540-4c)=0->96a+768=0->a=-8$ da cui $b=3a+22=-2,c=(a^2-60a-540)/4=1$ da cui l'equazione della circonferenza è $x^2+y^2-8x-2y+1=0$ come trovato con l'altro metodo.
Grazie per il vostro aiuto
ora ho capito meglio
cmq ieri sera ho provato a risolverne alcuni con questo metodo (cioè quello che stamattina ho letto di laura.todisco)
$(ax+by+c)/sqrt(a^2+B^2)=+-(a'x+b'x+c')/sqrt(a'^2+b'^2)$
poi ho intersecato questa retta alla retta del centro e ho trovato il centro della circonferenza
ora ho capito meglio
cmq ieri sera ho provato a risolverne alcuni con questo metodo (cioè quello che stamattina ho letto di laura.todisco)
$(ax+by+c)/sqrt(a^2+B^2)=+-(a'x+b'x+c')/sqrt(a'^2+b'^2)$
poi ho intersecato questa retta alla retta del centro e ho trovato il centro della circonferenza
Perfetto!
Raga ri-chiedo nella mia grande 'gnuranza il vostro gradito aiuto (la prof si è incavolata con un gruppetto e ha smesso di spiegare)
Trovare l'equazione della circonferenza che passa in $O (0 ; 0)$ e interseca la retta $x-2y-1=0$ in punto di ascissa 2
Ho trovato il punto della seconda intersezione (chiamato P) sostituendo la x e quindi mi ritrovo con $O (0 ; 0)$ e $P (2;(1)/2)$
poi faccio il sistema con le 2 equazioni che trovo sostituendo le coordinate dei 2 punti e la condizione di tangenza e trovo
${(gamma=0),(8alpha+2beta+17+4gamma=0),(Delta=0)]$
vado a sostituire gamma e quindi rimango con ${(8alpha+2beta+17=0) , (Delta=0)]$
ora che devo fare?
io ho provato a ricavare $beta$ ma mi sono bloccato
$beta=(-8alpha-17)/2$
ho sostituito beta alla formula dell'equazione generica della circonferenza
$x^2+y^2+alphax-(8alpha+17)/(2)y=0$
$2x^2+2y^2+2alphax-8alphay-17y=0$
ecco qui non riesco più a capire cosa fare
grazie!
Trovare l'equazione della circonferenza che passa in $O (0 ; 0)$ e interseca la retta $x-2y-1=0$ in punto di ascissa 2
Ho trovato il punto della seconda intersezione (chiamato P) sostituendo la x e quindi mi ritrovo con $O (0 ; 0)$ e $P (2;(1)/2)$
poi faccio il sistema con le 2 equazioni che trovo sostituendo le coordinate dei 2 punti e la condizione di tangenza e trovo
${(gamma=0),(8alpha+2beta+17+4gamma=0),(Delta=0)]$
vado a sostituire gamma e quindi rimango con ${(8alpha+2beta+17=0) , (Delta=0)]$
ora che devo fare?
io ho provato a ricavare $beta$ ma mi sono bloccato
$beta=(-8alpha-17)/2$
ho sostituito beta alla formula dell'equazione generica della circonferenza
$x^2+y^2+alphax-(8alpha+17)/(2)y=0$
$2x^2+2y^2+2alphax-8alphay-17y=0$
ecco qui non riesco più a capire cosa fare
grazie!
credo ch il testo del problema sia incompleto:
si indicano in buona sostanza 2 punti per cui passa la circonferenza,
ma cio' non basta ad identificarla....
ciao
alex
si indicano in buona sostanza 2 punti per cui passa la circonferenza,
ma cio' non basta ad identificarla....
ciao
alex
Si ma sono tutti cosi...riporto precisamente il testo
"Scrivere l'equazione della circonferenza che passa per l'origine e interseca la retta x-2y-1=0 nel punto di ascissa 2"
"Scrivere l'equazione della circonferenza che passa per l'origine e interseca la retta x-2y-1=0 nel punto di ascissa 2"
"Sheker":
Si ma sono tutti cosi...riporto precisamente il testo
"Scrivere l'equazione della circonferenza che passa per l'origine e interseca la retta x-2y-1=0 nel punto di ascissa 2"
saro' vecchio e rin.....ito ma giurerei che e' incompleto
per identificare una circo ci vogliono 3 punti
qui ne vengono dati solo 2.
a meno che quell' 'interseca' si intende come ' e' tangente '
non ci vogliono 3 punti ma 3 condizioni...qui ci sono 2 punti e una retta
quindi dai per scontato che la retta e' tangente?
cmq il testo e' abbastanza ambiguo in quanto parla di intersezione
cmq il testo e' abbastanza ambiguo in quanto parla di intersezione
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