Cubiche e circonferenza.
In un piano ........abbiamo una circonferenza di raggio $1$ e centro $O$
a) determinare le equazioni delle due cubiche che passano per O(origine) e per gli estremi A e B del diametro della Circonferenza appartenenti all'asse x e tangenti internamente alla circonferenza (in punti diversi da A e B ) e determinare le coordinate dei 4 punti di tangenza.
Passaggio per i tre punti mi portano : $ y= ax^3 + bx^2 + cx + d$
ne segue:
$b=0$ e $d=0$ ed inoltre si deduce chiaramente che . $ a=-c$ .
Non riesco pero' a trovare a e c . Non riesco a far mia l'informazione relativa alla tangenza (internamente).
Riesco a trovare facendo il sistema tra l'equazione della circonferenza di raggio unitario e la cubica rimasta con a e c anzi meglio ancora con :
$ y= ax^3-ax$ , riesco a trovare:
$ xy = -1/a$ ma non so trarre altre conclusioni.
Grazie
a) determinare le equazioni delle due cubiche che passano per O(origine) e per gli estremi A e B del diametro della Circonferenza appartenenti all'asse x e tangenti internamente alla circonferenza (in punti diversi da A e B ) e determinare le coordinate dei 4 punti di tangenza.
Passaggio per i tre punti mi portano : $ y= ax^3 + bx^2 + cx + d$
ne segue:
$b=0$ e $d=0$ ed inoltre si deduce chiaramente che . $ a=-c$ .
Non riesco pero' a trovare a e c . Non riesco a far mia l'informazione relativa alla tangenza (internamente).
Riesco a trovare facendo il sistema tra l'equazione della circonferenza di raggio unitario e la cubica rimasta con a e c anzi meglio ancora con :
$ y= ax^3-ax$ , riesco a trovare:
$ xy = -1/a$ ma non so trarre altre conclusioni.
Grazie
Risposte
La cubica ha quindi equazione $y=a(x^3-x)$. Detto $P(u,v)$ uno dei punti di tangenza impongo che 1) P stia sulla circonferenza; 2) P stia sulla cubica; 3) le tangenti in P alle due curve abbiano la stessa pendenza. Ottengo il sistema
${(u^2+v^2=1), (v=au(u^2-1)),(a(3u^2-1)=-u/v):}$
che risolvo con un po' di pazienza; io ho lasciato per ultima l'incognita $u$. Scartate le soluzioni $u=0$ e $u=+-1$, arrivo a
${(u^2=1/2), (a^2=4),(v=au(u^2-1)):}$
Ho poi considerato separatamente i due casi corrispondenti ad $a=+-2$.
${(u^2+v^2=1), (v=au(u^2-1)),(a(3u^2-1)=-u/v):}$
che risolvo con un po' di pazienza; io ho lasciato per ultima l'incognita $u$. Scartate le soluzioni $u=0$ e $u=+-1$, arrivo a
${(u^2=1/2), (a^2=4),(v=au(u^2-1)):}$
Ho poi considerato separatamente i due casi corrispondenti ad $a=+-2$.
Eccezionale veramente eccezionale. Grazie .
Prego, ma ripensandoci ho trovato una soluzione migliore. Mettiamo a sistema le due curve; ricaviamo $y$ dalla cubica e sostituiamolo nella circonferenza. Semplificando per $(x^2-1)$ (che corrisponde ai punti A, B) arriviamo a
${(y=ax(x^2-1)), (a^2x^4-a^2x^2+1=0):}$
Imponiamo ora $Delta=0$; essendo $a!=0$ otteniamo $a^2=4$ e ci basta finire di risolvere il sistema.
${(y=ax(x^2-1)), (a^2x^4-a^2x^2+1=0):}$
Imponiamo ora $Delta=0$; essendo $a!=0$ otteniamo $a^2=4$ e ci basta finire di risolvere il sistema.
Molto bene grazie Giammaria
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