Criterio di proporzionalità

[silente1]

Lo riporto come lo trovo:
Condizione necessaria e sufficiente affinché le grandezze di due insiemi in corrispondenza biunivoca siano direttamente proporzionali è che:
1) A grandezze uguali dell’uno corrispondano grandezze uguali dell’altro
2) Alla somma di due o più grandezze dell’uno corrisponda la somma di due o più grandezze dell’altro
Riguardo alla condizione sufficiente non ho chiaro se serva anche la 1). Mi pare che la 2) la implichi. Si può avere un esempio in cui la 1) sia falsa e la 2) sia vera?

Grazie

[giammaria2]

Disegna un quadrante di circonferenza con centro O ed estremi A, B; considera la corrispondenza fra gli archi di quel quadrante e le loro proiezioni su OA. E' biunivoca e vale la condizione 2) ma non è una proporzionalità diretta, come puoi vedere direttamente notando che alla metà dell'arco AB non corrisponde la metà di OA o indirettamente osservando che non vale la 1): due archi uguali ma in posizioni diverse hanno proiezioni diverse.

[silente1]

Forse mi sfugge come hai definito la somma di due archi. Se prendo due archi non consecutivi non mi viene in mente un modo per definirla che faccia valere la 2
Comunque quello che mi sfuggiva era dove si usa la 1 nella dimostrazione del principio di proporzionalità e direi che l'esempio è stato chiarificatore.
Grazie

[giammaria2]

Stabilisco che due archi non consecutivi non sono sommabili. Infatti per sommarli dovrei spostarne almeno uno fino a renderlo consecutivo: così facendo però non sommo l'arco in questione ma il suo spostato e se non vale la 1) non è la stessa cosa.