Costruzioni geometriche coi numeri irrazionali

[scrittore1]

Ciao ragazzi,

riflettevo sui numeri irrazionali e sulle costruzioni geometriche ed ho fatto il seguente ragionamento sulla base di alcune nozioni certe.

1. Un numero irrazionale non è ottenibile tramite rapporto di due numeri interi

2. Per scrivere un numero irrazionale occorrono infinite cifre dopo la virgola senza un periodo.

3. Non posso disegnare un segmento lungo quanto pigreco centimetri, perché avendo un numero infinito di cifre dopo la virgola il segmento non avrà mai la lunghezza esatta di pigreco centimetri.

4. Pigreco è un numero irrazionale.

5. Pigreco è il rapporto tra circonferenza e diametro.

6. Dalla 1 ricavo che almeno uno tra circonferenza e diametro di un qualunque cerchio non è un numero intero.

7. Corollario: almeno uno tra circonferenza e diametro di un qualunque cerchio non è un numero razionale.

8. Dalla 3 ricavo che almeno uno tra circonferenza e diametro di un qualunque cerchio non li posso disegnare con precisione esatta.



Vorrei sapere innanzitutto se e dove ho sbagliato nei miei ragionamenti e, nel caso sia tutto giusto, com’è possibile che l’affermazione 8 sia vera (dato che mi sconvolge assai).


Grazie a chi vorrà rispondermi

[Albert Wesker 27]

I numeri irrazionali si possono disegnare! Ed è una cosa meravigliosa a mio modo di vedere. Te puoi vedere un segmento lungo $ sqrt(2) $ ma non sai "con precisione" quanto sia lungo. Disegna ad esempio un quadrato avente i lati di $1 cm$ e traccia la sua diagonale: hai di fronte agli occhi un segmento lungo $sqrt(2)$. E cosi nella circonferenza: se ne disegni una di raggio unitario avrai di fronte agli occhi una curva lunga $ 2pi $ nonostante tu non possa sapere "esattamente" la lunghezza della stessa.

[scrittore1]

"Albert Wesker 27":I numeri irrazionali si possono disegnare! Disegna ad esempio un quadrato avente i lati di $1 cm$ e traccia la sua diagonale: hai di fronte agli occhi un segmento lungo $sqrt(2)$.

come ho fatto a non pensarci?!
Grazie mille, mi hai illuminato ed illustrato una cosa bellissima!

Credo che tale concetto sia in qualche modo anaogo al famoso paradosso di Achille e la Tartaruga, quando ci sono di mezzo infiniti infinitesimi i ragionamenti non sono mai molto semplici...

[giammaria2]

Quello che dice Albert Wesker 27 è vero, ma non vale per tutti i numeri irrazionali e in particolare non vale per $pi$, che per questo è detto numero trascendente. Il ragionamento di scrittore è giusto e l'affermazione 8 è vera, se intesa nel senso che non puoi disegnare esattamente un segmento lungo quanto la circonferenza; è chiaro invece che se lasci la circonferenza curva com'è, la sua lunghezza è esatta. L'affermazione 8 ha sconvolto anche i matematici dell'antichità che hanno affannosamente cercato di dimostrarla falsa: è chiamata il problema della rettificazione della circonferenza o, passando dalle linee alle aree, della quadratura del cerchio. Il problema è stato veramente chiuso solo nel 1882, quando Lindemann ha dimostrato che $pi$ è un numero trascendente.