Cos(nx)

[Reginald1]

Salve a tutti, sono nuovo.....questa mattina a scuola stavo pensando: essite una formula che ci da cos(nx) se sappiamo solo cos'è cos(x)???

PS:che tasto è quello per il latex?

[alberto.chiarini]

Per stampare le formule in LaTeX ti basta scrivere tra due dollari.

Venendo alla tua curiosità, la formula esiste, e la dimostrazione (almeno quella che conosco io) passa per i numeri complessi.

[G.D.5]

Si possono usare i polinomi di Chebyshev.

[alberto.chiarini]

Questa è la formula che ho calcolato in fretta, come puoi notare è tutto in funzione di $\cos(theta)$ e $sen(\theta)$

$cos(n\theta)=\sum_{k=0,2|k}^n ((n),(k))(-1)^{k/2} cos^{n-k}(\theta) sen^k(\theta)$

[Reginald1]

"Albe":Questa è la formula che ho calcolato in fretta, come puoi notare è tutto in funzione di $\cos(theta)$ e $sen(\theta)$

$cos(n\theta)=\sum_{k=0,2|k}^n ((n),(k))(-1)^{k/2} cos^{n-k}(\theta) sen^k(\theta)$

Grazie$10^3$!!!!!!...mi posti anche la dimostrazione?(a meno che non la hai trovata per induzione)..e poi cosa vuol dire che la sommatoria parte da 0,2|k?..vuol dire che parte da un k divisibile per 0,2?

[alberto.chiarini]

Precisiamo:
Con $\sum_{k=0,2|k}^n$ intendo che $k$ va da $0$ a $n$ e che $2$ divide $k$, cioè $k$ è pari.

La dimostrazione non è difficile, ne do solo una traccia, sfrutta la regola di De Moivre, ovvero:

$(cos(\theta)+i sen(theta))^n=cos(n\theta)+i sen(n\theta)$

Ora si tratta di sviluppare il primo membro, la sua parte reale coincide con $cos(n\theta)$