$∫(cos^2 x - 4cosx)/(sen^4 x) dx$

[raff981]

Devo risolvere quest'integrale per sostituzione o in un altro modo?

Risultato: $-1/3 ctg^3 x + 4/(3sen^3 x) +c$

[axpgn]

Lo dividi in due ... uno è come prima ... l'altro forse è immediato ...

[raff981]

E come faccio a dividerlo in due?

$∫(cos^2x - 4cosx) + 1/(sen^4x) dx$ ?

[axpgn]

Orrendo!

Sai cosa sono le frazioni ?

$int ((cos(x))^2-4cos(x))/((sin(x))^4)\ dx=int (cos(x))^2/(sin(x))^4\ dx - int (4cos(x))/(sin(x))^4\ dx$

Il primo è $int (cot(x))^2/(sin(x))^2\ dx$ e rivedi le derivate delle funzioni trigonometriche ... per sostituzione ...
Il secondo è come quello di prima ...

[raff981]

Non riesco a risolvere il primo. Come devo fare?

[axpgn]

Poni $t=cot(x)$ ...

[raff981]

Mi esce $1/3 ctg^3x + 1/(3sen^3x) +c$... Cosa ho sbagliato?

[axpgn]

Ti sei perso il $4$ ... come detto negli altri post la costante che moltiplica tutta la funzione integranda si può portar fuori dal segno integrale e di solito è la cosa migliore da fare ... basta non dimenticarla però ...

[raff981]

Ok, e il meno all'inizio? Perché non me lo trovo?

[axpgn]

Perché ti sei perso pure quello ... ... hai visto cosa ho scritto quando "ho spezzato" in due l'integrale originale ?

[raff981]

Ti scrivo tutti i passaggi perché ancora non ho capito dove ho lasciato quel meno...
$∫(ctg^2x)/(sen^2x) dx - ∫(4cosx)/(sen^4x) dx$
$∫t^2 dt - ∫(1/t^4) dt$
$t^3/3 + (t^-3)/3 +c$
$1/3 ctg^3x + 4/(3sen^3x) +c$

[axpgn]

Perché la derivata della cotangente ce l'ha il "meno" ... ma l'hai perso ...

[raff981]

Che c'entra la derivata?

[axpgn]

Pongo $t=cot(x)$ da cui DERIVANDO ottengo $dt=-1/(sin(x))^2\ dx$ ... per cui avrò $int -t^2\ dt$ ...

[raff981]

Capito, grazie mille