Cos è una funzione
Che cos' è una funxione?
Che cos è un dominio?
Cosa sono i massimi e i minimi?
Che cos è un dominio?
Cosa sono i massimi e i minimi?
Risposte
Ciao Francesca!
In parole povere, una funzione è una legge che mette in relazione gli elementi di due insiemi A e B, con la condizione fondamentale che ad ogni elemento dell'insieme "di partenza" A, corrisponda uno e un solo elemento dell'insieme "di arrivo" B.
Per farti un esempio...
La legge f che mette in relazione l'insieme di parole P = {casa, gatto, cane} con la rispettiva iniziale nell'insieme L = {a, b, c, ..., z} delle lettere dell'alfabeto, è una funzione, dal momento che le tre parole dell'insieme di partenza P hanno una e una sola corrispondenza nell'insieme di arrivo L:
f(casa) = c
f(gatto) = g
f(cane) = c
Il dominio di una funzione è, né più né meno, l'insieme di partenza, cioè l'insieme di tutti gli elementi che trovano una corrispondenza attraverso la funzione.
Nel mio esempio, è l'insieme P = {casa, gatto, cane}.
Gli elementi dell'insieme di arrivo che trovano corrispondenza attraverso la funzione costituiscono, invece, il codominio della funzione stessa, che in generale è un sottoinsieme dell'insieme di arrivo.
Nel mio esempio, è l'insieme {c, g}, sottoinsieme di L = {a, b, c, ..., z}.
Naturalmente, a te interessano le funzioni numeriche, cioè quelle funzioni definite su insiemi numerici (ad esempio l'insieme R dei numeri reali) e che sono espresse da un'equazione.
Ad esempio la funzione f(x) = 2x, che mette in relazione un numero (il generico elemento x dell'insieme R) con il suo doppio (appunto 2x).
Il mio consiglio è di ripassarti per bene questi concetti di base prima di affrontare argomenti più avanzati come i massimi e i minimi, che richiedono una maggiore dimestichezza con l'analisi matematica.
Se hai domande, chiedi pure!
In parole povere, una funzione è una legge che mette in relazione gli elementi di due insiemi A e B, con la condizione fondamentale che ad ogni elemento dell'insieme "di partenza" A, corrisponda uno e un solo elemento dell'insieme "di arrivo" B.
Per farti un esempio...
La legge f che mette in relazione l'insieme di parole P = {casa, gatto, cane} con la rispettiva iniziale nell'insieme L = {a, b, c, ..., z} delle lettere dell'alfabeto, è una funzione, dal momento che le tre parole dell'insieme di partenza P hanno una e una sola corrispondenza nell'insieme di arrivo L:
f(casa) = c
f(gatto) = g
f(cane) = c
Il dominio di una funzione è, né più né meno, l'insieme di partenza, cioè l'insieme di tutti gli elementi che trovano una corrispondenza attraverso la funzione.
Nel mio esempio, è l'insieme P = {casa, gatto, cane}.
Gli elementi dell'insieme di arrivo che trovano corrispondenza attraverso la funzione costituiscono, invece, il codominio della funzione stessa, che in generale è un sottoinsieme dell'insieme di arrivo.
Nel mio esempio, è l'insieme {c, g}, sottoinsieme di L = {a, b, c, ..., z}.
Naturalmente, a te interessano le funzioni numeriche, cioè quelle funzioni definite su insiemi numerici (ad esempio l'insieme R dei numeri reali) e che sono espresse da un'equazione.
Ad esempio la funzione f(x) = 2x, che mette in relazione un numero (il generico elemento x dell'insieme R) con il suo doppio (appunto 2x).
Il mio consiglio è di ripassarti per bene questi concetti di base prima di affrontare argomenti più avanzati come i massimi e i minimi, che richiedono una maggiore dimestichezza con l'analisi matematica.
Se hai domande, chiedi pure!
Cos'è la vita?
Dove andiamo?
Cosa diventeremo?
Domande apparentemente semplici, ma le risposte non sono così facili.
Ovviamente sto scherzando, ma comunque risponderti non è semplice, perché gli argomenti trattati sono difficilmente condensabili in un semplice post.
Comunque, proviamoci.
Una FUNZIONE è (in generale) una "regola" o "legge" che mette in relazione due elementi di due insiemi che possono essere anche diversi tra loro.
Se acquisto delle patate che costano 2 euro al Kg ho questa relazione:
1 Kg = 2 euro
2 Kg = 4 euro
3 Kg = 6 euro
4 Kg = 8 euro
eccetera.
Quindi
prezzo (euro) = 2*peso (Kg)
per cui, se chiamiamo
x = peso
y = prezzo
possiamo scrivere
y = 2x
In generale
y = f(x)
cioè il valore di y (il prezzo che devo pagare) è IN FUNZIONE del peso.
Ovviamente in questo esempio posso pesare (e pagare) una qualunque quantità di patate, se prendo ZERO patate pagherò ZERO euro perché
y = 2x = 2(0) = 0.
Altrettanto ovviamente NON posso pesare una quantità NEGATIVA di patate, quindi
x DEVE essere
cioè:
Il Dominio di una FUNZIONE è proprio questo:
.
Quindi, per determinare il Dominio di una FUNZIONE bisogna trovare DOVE la funzione NON ESISTE e SCARTARE quei valori.
Siccome un POLINOMIO esiste sempre (è SEMPRE possibile determinarne il risultato sostituendo un qualunque valore alla x"),
il Dominio di una FUNZIONE del tipo:
ESISTE SEMPRE, per cui il suo Dominio è tutto l'insieme R dei Numeri Reali.
Invece
quando il denominatore diventa ZERO diventa IMPOSSIBILE perché:
NON ESISTE, o meglio NON HA SENSO perché NESSUN numero moltiplicato per ZERO farà mai "14".
Quindi:
TUTTE LE VOLTE CHE LA "x" COMPARE AL DENOMINATORE DOBBIAMO IMPORRE LA CONDIZIONE CHE IL DENOMINATIRE SIA DIVERSO DA ZERO.
In questo esempio:
e il Dominio di questa FUNZIONE é:
D = R - {+5}
o, più semplicemente:
x
Analogamente, siccome le radici PARI (seconda, quarta, sesta ecc.) di un numero NEGATIVO non esistono nel Campo dei numeri Reali, dovremo imporre la condizione:
GLI ARGOMENTI DELLE RADICI PARI DEVONO ESSERE
Esempio:
e questo è il Dominio di questa funzione.
Per quanto riguarda i Massimi e i Minimi il discorso è troppo lungo, ti allego un disegno con un esempio di Max e Min RELATIVO, punti in cui
DERIVATA PRIMA è ZERO (retta tangente in rosso ORIZZONTALE) e
DERIVATA SECONDA POSITIVA = MINIMO RELATIVO
DERIVATA SECONDA NEGATIVA = MASSIMO RELATIVO
.
Fammi sapere se sono stato chiaro.
Carlo
Dove andiamo?
Cosa diventeremo?
Domande apparentemente semplici, ma le risposte non sono così facili.
Ovviamente sto scherzando, ma comunque risponderti non è semplice, perché gli argomenti trattati sono difficilmente condensabili in un semplice post.
Comunque, proviamoci.
Una FUNZIONE è (in generale) una "regola" o "legge" che mette in relazione due elementi di due insiemi che possono essere anche diversi tra loro.
Se acquisto delle patate che costano 2 euro al Kg ho questa relazione:
1 Kg = 2 euro
2 Kg = 4 euro
3 Kg = 6 euro
4 Kg = 8 euro
eccetera.
Quindi
prezzo (euro) = 2*peso (Kg)
per cui, se chiamiamo
x = peso
y = prezzo
possiamo scrivere
y = 2x
In generale
y = f(x)
cioè il valore di y (il prezzo che devo pagare) è IN FUNZIONE del peso.
Ovviamente in questo esempio posso pesare (e pagare) una qualunque quantità di patate, se prendo ZERO patate pagherò ZERO euro perché
y = 2x = 2(0) = 0.
Altrettanto ovviamente NON posso pesare una quantità NEGATIVA di patate, quindi
x DEVE essere
[math]\ge 0[/math]
.cioè:
[math]x\ge 0[/math]
.Il Dominio di una FUNZIONE è proprio questo:
DOVE ESISTE LA FUNZIONE, oppure:
QUALI SONO I VALORI DELLA "x" per i quali la FUNZIONE ESISTE (o HA SENSO)
.
Quindi, per determinare il Dominio di una FUNZIONE bisogna trovare DOVE la funzione NON ESISTE e SCARTARE quei valori.
Siccome un POLINOMIO esiste sempre (è SEMPRE possibile determinarne il risultato sostituendo un qualunque valore alla x"),
il Dominio di una FUNZIONE del tipo:
[math]y=\frac{2}{3}x^3-5x^2+\frac{7}{2}x-121[/math]
.ESISTE SEMPRE, per cui il suo Dominio è tutto l'insieme R dei Numeri Reali.
Invece
[math]y=\frac{2x+4}{x-5}[/math]
.quando il denominatore diventa ZERO diventa IMPOSSIBILE perché:
[math]y=\frac{2(5)+4}{(5)-5}=\frac{14}{0}[/math]
.NON ESISTE, o meglio NON HA SENSO perché NESSUN numero moltiplicato per ZERO farà mai "14".
Quindi:
TUTTE LE VOLTE CHE LA "x" COMPARE AL DENOMINATORE DOBBIAMO IMPORRE LA CONDIZIONE CHE IL DENOMINATIRE SIA DIVERSO DA ZERO.
In questo esempio:
[math]x-5\neq 0\\x\neq +5[/math]
.e il Dominio di questa FUNZIONE é:
D = R - {+5}
o, più semplicemente:
x
[math]\neq[/math]
+5Analogamente, siccome le radici PARI (seconda, quarta, sesta ecc.) di un numero NEGATIVO non esistono nel Campo dei numeri Reali, dovremo imporre la condizione:
GLI ARGOMENTI DELLE RADICI PARI DEVONO ESSERE
[math]\geq[/math]
0.Esempio:
[math]y=2x^2+3\sqrt{x-2}\\poniamo:\\(x-2)\geq0\\x\geq0[/math]
.e questo è il Dominio di questa funzione.
Per quanto riguarda i Massimi e i Minimi il discorso è troppo lungo, ti allego un disegno con un esempio di Max e Min RELATIVO, punti in cui
DERIVATA PRIMA è ZERO (retta tangente in rosso ORIZZONTALE) e
DERIVATA SECONDA POSITIVA = MINIMO RELATIVO
DERIVATA SECONDA NEGATIVA = MASSIMO RELATIVO
.
Fammi sapere se sono stato chiaro.
Carlo
Cos è il diagramma di redditività?
Qui entriamo in un campo specifico che non è propriamente il mio e puoi trovare facilmente tra gli appunti o in rete le spiegazioni tecniche che cerchi.
In forma soft (discorsiva) posso dirti che il diagramma di redditività non è altro un modo grafico di rappresentare i costi e i ricavi con lo scopo di poter analizzare visivamente quando si raggiunge una situazione di equilibrio.
In parole povere si cerca di stabilire la quantità minima da produrre e da vendere per ottenere il pareggio di bilancio, cioè la quantità minima al di sotto della quale NON conviene produrre un determinato articolo.
Se vendendo una saponetta guadagno 2 euro ma ho 40.000 euro al mese di costi fissi (affitto, elettricità, stipendi ed altro), se non vendo ALMENO 20.000 saponette al mese sono in perdita.
In riferimento alla mia risposta precedente, si può studiare la funzione che riunisce tutti i fattori fissi e variabili del problema con il normale studio di funzione per cercare (e determinare) i punti di Massimo e di Minimo
In forma soft (discorsiva) posso dirti che il diagramma di redditività non è altro un modo grafico di rappresentare i costi e i ricavi con lo scopo di poter analizzare visivamente quando si raggiunge una situazione di equilibrio.
In parole povere si cerca di stabilire la quantità minima da produrre e da vendere per ottenere il pareggio di bilancio, cioè la quantità minima al di sotto della quale NON conviene produrre un determinato articolo.
Se vendendo una saponetta guadagno 2 euro ma ho 40.000 euro al mese di costi fissi (affitto, elettricità, stipendi ed altro), se non vendo ALMENO 20.000 saponette al mese sono in perdita.
In riferimento alla mia risposta precedente, si può studiare la funzione che riunisce tutti i fattori fissi e variabili del problema con il normale studio di funzione per cercare (e determinare) i punti di Massimo e di Minimo
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