Corso di recupero di matematica - Quarto anno
Salve,
All'esame manca una settimana ed io mi trovo ancora in difficoltà, mi sono gia' dato una ripassata a tutto ma ancora ho le idee molto confuse ed alcune cose mi sfuggono .. certi esercizi non mi vengono.. vi chiedo percio' se potete indicarmi qualche buon documento o + documenti gratuiti online che siano chiario,semplici e completi da cui potrei studiarmi ancora una volta i seguenti argomenti:
** o/anche se possibile un paio di esercizi tipo che pensate potrebbero capitarmi all'esame visto il programma seguente:
Le disequazioni di secondo grado
-il segno del trinomio di secondo grado con considerazioni algebriche
-il segno del trinomio di secondo grado con considerazioni grafiche(parabola associata)
-le disequazioni di secondo grado(metodo grafico)
Geometria
-criteri di similitudine dei triangoli
- la circonerenza e il cerchio (detta fra noi: nn sono la stessa cosa ?)
-angolo alla circonferenza e angoli al centro
-poligoni iscritti e poligoni circoscritti
Geometria Analitica
Relazioni e funzioni
- Prodotto cartesiano e relazioni fra insiemi
-Relazioni e funzioni
-Il grafico di una funzione
-Criterio per riconoscere una funzione
L'elisse del piano cartesiano
-L'equazione dell'ellisse
-L'ellisse con i fuochi sull'asse y
-L'eccentricita' di una ellisse
L'iperbole nel piano cartesiano
-L'equazione dell'iperbole
-L'iperbole con i fuochi sull'asse y
Goniometria e trigonometria
Le funzioni goniometriche per angoli convessi
-Le origini
-Richiami sulla similitudine dei triangoli
-Una definizione di seno,coseno e tangente
-Valori delle principali funzioni goniometriche per gli angoli di 30°,45°,60°(dimostrazione)
-Le funzioni goniometriche con la calcolatrice
Le funzioni goniometriche
-Un altro modo di misurare gli angoli
-Un sistema di misura degli angoli
-Un altro modo di definire le funzioni goniometriche fondamentali
-Le funzioni y=sinx,y=cosx,y=tgx,y=cotgx-
-Le cofunzioni
-Le relazioni fondamentali
-Gli archi associati
-Le Funzioni goniometriche inverse
-le funzioni goniometriche con la calcolatrice
Risoluzione dei triangoli qualsiasi
-l'area di un triangolo
-Il teorema della corda
-il teorema dei seni
-Il teorema di Carnot
-La risoluzione dei triangoli (analisi dei quattro casi)
-Applicazione alla fisica
Le funzioni goniometriche e le equazioni
-Le definizioni
-I grafici di particolari funzioni
-La periodicita' delle funzioni
-Le formule: addizione,duplicazione,bisezione,parametriche,prostaferesi,Werner
-Le equazioni goniometriche
-La risoluzione delle equazioni elementari
- Altre particolari equazioni
-Le equazioni lineari
- Le equazioni omogenee
-Altri tipi di equazioni
-I sistemi di equazioni
Le disequazioni goniometriche
-Le disequazioni elementari
- Le disequazioni frazionarie e i sistemi
-Le disequazioni Lineari
-Le disequazioni omogenee
RINGRAZIO IN ANTICIPO PER QUALSIASI AIUTO
All'esame manca una settimana ed io mi trovo ancora in difficoltà, mi sono gia' dato una ripassata a tutto ma ancora ho le idee molto confuse ed alcune cose mi sfuggono .. certi esercizi non mi vengono.. vi chiedo percio' se potete indicarmi qualche buon documento o + documenti gratuiti online che siano chiario,semplici e completi da cui potrei studiarmi ancora una volta i seguenti argomenti:
** o/anche se possibile un paio di esercizi tipo che pensate potrebbero capitarmi all'esame visto il programma seguente:
Le disequazioni di secondo grado
-il segno del trinomio di secondo grado con considerazioni algebriche
-il segno del trinomio di secondo grado con considerazioni grafiche(parabola associata)
-le disequazioni di secondo grado(metodo grafico)
Geometria
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- la circonerenza e il cerchio (detta fra noi: nn sono la stessa cosa ?)
-angolo alla circonferenza e angoli al centro
-poligoni iscritti e poligoni circoscritti
Geometria Analitica
Relazioni e funzioni
- Prodotto cartesiano e relazioni fra insiemi
-Relazioni e funzioni
-Il grafico di una funzione
-Criterio per riconoscere una funzione
L'elisse del piano cartesiano
-L'equazione dell'ellisse
-L'ellisse con i fuochi sull'asse y
-L'eccentricita' di una ellisse
L'iperbole nel piano cartesiano
-L'equazione dell'iperbole
-L'iperbole con i fuochi sull'asse y
Goniometria e trigonometria
Le funzioni goniometriche per angoli convessi
-Le origini
-Richiami sulla similitudine dei triangoli
-Una definizione di seno,coseno e tangente
-Valori delle principali funzioni goniometriche per gli angoli di 30°,45°,60°(dimostrazione)
-Le funzioni goniometriche con la calcolatrice
Le funzioni goniometriche
-Un altro modo di misurare gli angoli
-Un sistema di misura degli angoli
-Un altro modo di definire le funzioni goniometriche fondamentali
-Le funzioni y=sinx,y=cosx,y=tgx,y=cotgx-
-Le cofunzioni
-Le relazioni fondamentali
-Gli archi associati
-Le Funzioni goniometriche inverse
-le funzioni goniometriche con la calcolatrice
Risoluzione dei triangoli qualsiasi
-l'area di un triangolo
-Il teorema della corda
-il teorema dei seni
-Il teorema di Carnot
-La risoluzione dei triangoli (analisi dei quattro casi)
-Applicazione alla fisica
Le funzioni goniometriche e le equazioni
-Le definizioni
-I grafici di particolari funzioni
-La periodicita' delle funzioni
-Le formule: addizione,duplicazione,bisezione,parametriche,prostaferesi,Werner
-Le equazioni goniometriche
-La risoluzione delle equazioni elementari
- Altre particolari equazioni
-Le equazioni lineari
- Le equazioni omogenee
-Altri tipi di equazioni
-I sistemi di equazioni
Le disequazioni goniometriche
-Le disequazioni elementari
- Le disequazioni frazionarie e i sistemi
-Le disequazioni Lineari
-Le disequazioni omogenee
RINGRAZIO IN ANTICIPO PER QUALSIASI AIUTO
Risposte
E' una richiesta molto pesante da soddisfare...
(la circonferenza e' il "contorno" del cerchio...)
Ti proporrei di fare una ricerca generica su google.
E' fatto molto bene il corso sintetico di matematica che trovi sul DVD di skuola.net, ma ormai direi che anche ordinandolo ora, non arriverebbe in tempo.
Comunque, per l'anno prossimo, sappi che racchiude in maniera chiara tutto il programma di matematica delle superiori (compresa la parte su cui fai richieste).
Personalmente la tua richiesta non riesco a soddisfarla, soprattutto ad una settimana dall'esame.
Ripeto, se cerchi sulla rete, trovi tutto e per un ripasso e' molto utile.
Poi se hai un argomento su cui vuoi toglierti dei dubbi, noi siamo qua.
(la circonferenza e' il "contorno" del cerchio...)
Ti proporrei di fare una ricerca generica su google.
E' fatto molto bene il corso sintetico di matematica che trovi sul DVD di skuola.net, ma ormai direi che anche ordinandolo ora, non arriverebbe in tempo.
Comunque, per l'anno prossimo, sappi che racchiude in maniera chiara tutto il programma di matematica delle superiori (compresa la parte su cui fai richieste).
Personalmente la tua richiesta non riesco a soddisfarla, soprattutto ad una settimana dall'esame.
Ripeto, se cerchi sulla rete, trovi tutto e per un ripasso e' molto utile.
Poi se hai un argomento su cui vuoi toglierti dei dubbi, noi siamo qua.
Rieccomi,
Grazie per l'attenzione...
Non sono riuscito a risolvere i seguenti esercizi, sarei grato se mi potreste aiutare dandomi magari la spiegazione...
per gli ultimi due, come si studia il segno correttamente? puo' darsi che c'e' qualcosa che a me sfugge sul momento magari se me lo dite come si fa essattamente capisco cosa c'e' che non va...
:
[math]
\frac{(x-1)^3}{4}>\frac{(x+3)^3}{4}-15x-7
Soluzione: 0
Grazie per l'attenzione...
Non sono riuscito a risolvere i seguenti esercizi, sarei grato se mi potreste aiutare dandomi magari la spiegazione...
per gli ultimi due, come si studia il segno correttamente? puo' darsi che c'e' qualcosa che a me sfugge sul momento magari se me lo dite come si fa essattamente capisco cosa c'e' che non va...
:
[math]
\frac{(x-1)^3}{4}>\frac{(x+3)^3}{4}-15x-7
Soluzione: 0
[math] \frac{(x-1)^3}{4}>\frac{(x+3)^3}{4}-15x-7[/math]
Per prima cosa, minimo comune multiplo
[math] \frac{(x-1)^3}{4}>\frac{(x+3)^3-60x-28}{4}[/math]
A questo punto, dal momento che al denominatore appare una quantita' definita e positiva, possiamo tranquillamente eliminare il denominatore (comune) da ambo i lati.
Sviluppiamo i cubi dei binomi
[math[ x^3-3x^2+3x-1>x^3+9x^2+27x+27-60x-28[/math]
Portiamo tutto a sinistra e sommiamo i monomi simili
[math]-12x^2+36x>0 [/math]
Portiamo la disequazione in modo da avere il coefficiente di grado massimo (x^2) con parte numerica positiva. Cambiamo tutti i segni, pertanto, cambiano anche il verso della disequazione. Raccogliamo e studiamo fattore per fattore.
[math]12x^2-36x0 --> x>3
Studiamo i segni e prendiamo i valori NEGATIVI (come ci richiede la disequazione)
......0.........3.............
I)-----++++++++++
II)-----------++++++
_____________
....+......-........+
I valori NEGATIVI sono tra 0 e 3
[math]0
e' chiara, passiamo pure alla successiva....
[math]
4x^3 - 4x^2 - 3x + 3 \le 0 [/math]
4x^3 - 4x^2 - 3x + 3 \le 0 [/math]
Dunque. questo e' un polinomio di 3zo grado, e formato da un numero pari di monomi.
La prima cosa da provare e' il raccoglimento a fattor comune (che non e' possibile).
Poi proverei con il raccoglimento a fattor parziale:
[math]4x^2(x-1)-3(x-1) \le 0[/math]
Perfetto. Raccogliamo il fattore comune (x-1)
[math](x-1)(4x^2-3) \le 0 [/math]
e studiamo fattore per fattore (sempre, per comodita', il segno +, in questo caso anche l'uguale..)
PRIMO FATTORE
[math]x-1 \ge 0 \to x \ge 1 [/math]
SECONDO FATTORE
[math] 4x^2-3 \ge 0 [/math]
Per il secondo fattore, risolviamo l'equazione associata
[math] 4x^2-3=0 [/math]
Troviamo i due valori
[math] x= \pm \frac{ \sqrt3}}{2} [/math]
E per la soluzione delle disequazioni di secondo grado (vedi sopra)
[math] x< - \frac{ \sqrt3}{2} \ U \ x> \frac{ \sqrt3}{2} [/math]
Grafico:
.......
[math]- \frac{ \sqrt3}{2}[/math]
.........[math]\frac{ \sqrt3}{2}[/math]
..... 1......I)-----------------------------++++++
II)+++++---------++++++++++++
........-.............+........-..........+
Ricordiamo che la disequazione originaria era
[math] \le 0 [/math]
e pertanto prendiamo i valori negativi (e i valori in cui si annulla ogni singolo fattore, ovvero [math]- \frac{ \sqrt3}{2} \ \frac{ \sqrt3}{2} \ 1 [/math]
Quindi
[math]x \le - \frac{ \sqrt3}{2} \ U \ \frac{ \sqrt3}{2} \le x \le 1 [/math]
MI SONO ACCORTO ALLA FINE CHE TRA QUESTA E LA PRIMA CE N'E' UN'ALTRA.... BEH LA VEDIAMO DOPO.
Fammi sapere se questa e' chiara, e prova a risolvere TU la seconda.
I procedimenti sono analoghi.
Se non viene, postami il percorso che vediamo di capire dove sbagli..
hmmm... ho fatto l'ultima...
sbagliata...
Mi studio La positivita' di tutti e tre i fattori...
Delta < 0 .... tutto positivo.. la parabola non interseca l'asse delle x...verificato per ogni x appartenente ad R
...l'ho ricontrollato.. c'e' qualcosa che non vedo? perche nella soluzione data dal libro compare -1/2 .. che io non ho...
sbagliata...
[math]
2x^3 + 2 + 7x^2 + 7x => 0
2(x^3+1) + 7x(x+1) => 0
2(x+1)(x^2-x+1) + 7x(x+1) => 0
(x+1)(7x+2)(x^2-x+1) => 0
[/math]
2x^3 + 2 + 7x^2 + 7x => 0
2(x^3+1) + 7x(x+1) => 0
2(x+1)(x^2-x+1) + 7x(x+1) => 0
(x+1)(7x+2)(x^2-x+1) => 0
[/math]
Mi studio La positivita' di tutti e tre i fattori...
[math]
I)
x+1 => 0
x=>-1
II)
x=> -2/7
III)
x2-x+1=>0
[/math]
I)
x+1 => 0
x=>-1
II)
x=> -2/7
III)
x2-x+1=>0
[/math]
Delta < 0 .... tutto positivo.. la parabola non interseca l'asse delle x...verificato per ogni x appartenente ad R
...l'ho ricontrollato.. c'e' qualcosa che non vedo? perche nella soluzione data dal libro compare -1/2 .. che io non ho...
hai sbagliato nella prima parte...
se rcgli x+1 ti rimane:
quindi svolgi tt
prova a continuare..
se rcgli x+1 ti rimane:
[math](x+1)[2(x^2-x+1)+7x]\ge0[/math]
quindi svolgi tt
[math](x+1)(2x^2-2x+2+7x)\ge0[/math]
[math](x+1)(2x^2+5x+2)\ge0[/math]
prova a continuare..
issima90 grazie...ho capito l'errore stupido :lol.. io facevo il raccoglimento parziale...
mi e' venuta...
un'altra domanda.. se per esempio nelle disequazioni biquadratiche mi vengono due radici : una con dentro numero positivo... l'altra con dentro numero negativo... per quale motivo viene di solito considerata e studiata solo quella che ha dentro il numero positivo e l'altra viene completamente ignorata e non riportata ?
teoricamente si potrebbe studiare il segno anche dei risultati tipo i\sqrt{5} e -i\sqrt{5} ?
se si come? se no.. perche? :|
mi e' venuta...
un'altra domanda.. se per esempio nelle disequazioni biquadratiche mi vengono due radici : una con dentro numero positivo... l'altra con dentro numero negativo... per quale motivo viene di solito considerata e studiata solo quella che ha dentro il numero positivo e l'altra viene completamente ignorata e non riportata ?
teoricamente si potrebbe studiare il segno anche dei risultati tipo i\sqrt{5} e -i\sqrt{5} ?
se si come? se no.. perche? :|
In linea generale questi sono esercizi le cui soluzioni vengono richieste in R.
Nel caso si entrasse nell'insieme dei numeri complessi, ti verrebbe specificato nel testo.
Nel caso si entrasse nell'insieme dei numeri complessi, ti verrebbe specificato nel testo.
[math]
cos(x+pi/4)+\sqrt{3}sin(x+pi/4)=\sqrt{3}
S= pi/4 + 2kpi; -pi/12 + 2kpi;
[/math]
cos(x+pi/4)+\sqrt{3}sin(x+pi/4)=\sqrt{3}
S= pi/4 + 2kpi; -pi/12 + 2kpi;
[/math]
quest'altra non mi viene, vi sarei grato se me la risolveste spiegandomi il perche' di ogni passaggio.... o se e' troppo lunga la risoluzione e non avete tempo vi sarei grato se mi spiegaste almeno come potrei farla per risolaverla... cosi vedo se capisco cosa c'e' che non va'....
io l'ho semplificato dividendo per 2 ,sostituendo ai valori numeri del membro di sinstra e destra i coseni e seni... poi l'ho semplificata con la formula di sottrazione del coseno... mi venivano questo: cos(pi/3 -x-pi/4)=cos(pi/6) .. ho proceduto ugualiando quello che c'e' dentro le parentesi ed aggiungendo 2kpi al membro di destra: pi/3-x-pi/4 = pi/6 + 2kpi .... infine per scopire le soluzioni avevo messo k=0 e k=1 ..(cosi come facevo pure per la tangente... ) con k=0 la soluzione mi viene...con k=1 ... no...
dove sbaglio?
e' giusto fare cosi?
come fareste?
che metodi di risoluzione veloci e chiari mi consigliate... magari che siano validi per la maggiorparte delle casistiche?
io ho provato ad utilizare le formule parametriche... ma nn mi viene.. di esprimere il cos tramite il seno.. ma si complica un sacco....
.... ti ringrazio se mi aiuterai almeno un po'...
....
Il tuo procedimento e' corretto in parte.
L'appilicazione poi delle formule di addizione e' sbagliato, dal momento che
Comunque:
Pongo per comodita' mia di scrittura
Divido tutto per 2
e dunque
Ora:
ma anche
da cui
e
L'appilicazione poi delle formule di addizione e' sbagliato, dal momento che
[math]\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin (\alpha + \beta) [/math]
Comunque:
Pongo per comodita' mia di scrittura
[math] x + \frac{ \pi}{4}=t[/math]
Divido tutto per 2
[math] \frac{1}{2} \cos t + \frac{ \sqrt3}{2} \sin t = \frac{ \sqrt3}{2}[/math]
e dunque
[math] \sin \frac{ \pi}{6} \cos t + \cos \frac{ \pi}{6} \sin t = \frac{ \sqrt3}{2}[/math]
[math] \sin ( \frac{ \pi}{6}+t)= \frac{ \sqrt3}{2} [/math]
Ora:
[math] (I) \sin ( \frac{ \pi}{6}+t)= \sin \frac{ \pi}{3} [/math]
ma anche
[math] (II) \sin ( \frac{ \pi}{6}+t)= \sin \frac{2 \pi}{3} [/math]
da cui
[math] (I) \frac{ \pi}{6}+x+ \frac{ \pi}{4} = \frac{ \pi}{3} + 2k \pi [/math]
[math] x=- \frac{1}{12} \pi + 2k \pi [/math]
e
[math] (II) \frac{ \pi}{6}+x+ \frac{ \pi}{4} = \frac{2 \pi}{3} + 2k \pi [/math]
[math]x= \frac{ \pi}{4} + 2k \pi [/math]
Il tuo procedimento e' corretto in parte.
L'appilicazione poi delle formule di addizione e' sbagliato, dal momento che
[math]\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin (\alpha + \beta) [/math]
ma e' anche vero che
[math]\cos \alpha \cos \beta -o+ \sin \alpha \sin \beta = \cos (\alpha +o- \beta) [/math]
... o sbaglio?
e dopo aver diviso per due al posto di 1/2 potrei mettere cos(pi/3)... e al posto di \frac{\sqrt{2}}{2} potrei mettere sin(pi/3) ...
svolgendolo poi usando la formula di addizione del coseno.. mi viene solo una soluzione... l'altra no.. come mai? e' sbagliato quello che faccio?
Non capisco perche' ti venga una soluzione sola.
Perche' il coseno di due angoli e' uguale se:
gli angoli sono uguali
oppure
un angolo e' uguale al reciproco dell'altro.
Ovvero
se
Quindi ottieni comunque due soluzioni
Perche' il coseno di due angoli e' uguale se:
gli angoli sono uguali
oppure
un angolo e' uguale al reciproco dell'altro.
Ovvero
[math] \cos x = \cos y [/math]
se
[math] x = y + 2k \pi [/math]
[math] x = -y + 2k \pi [/math]
Quindi ottieni comunque due soluzioni
gia' .... mi sono espresso un po male... mi vengono 2 soluzioni...
la prima giusta ossia x= -pi/12 e l'altra sbagliata :-|
-------------------
Ok ho capito una delle cose che nn mi venivano.. ... il gli angoli delle funzioni del coseno sono o uguali o opposti... percio' se ho cos(pi/3 -x-pi/4)=cos(pi/6)
come prima soluzione mi risolvo:
pi/3 -x-pi/4 = pi/6 + 2kpi
e per la seconda soluzione:
pi/3 -x-pi/4 = -pi/6 + 2kpi
!
RIMANE CMQ IL SEGUENTE DUBBIO:
poi un'altra cosa...
se ho come risultato
come faccio a scoprire x? se faccio
mi viene solo quella con il + ... l'altra x come me la scopro?
la prima giusta ossia x= -pi/12 e l'altra sbagliata :-|
io l'ho semplificato dividendo per 2 ,sostituendo ai valori numeri del membro di sinstra e destra i coseni e seni... poi l'ho semplificata con la formula di sottrazione del coseno... mi veniva questo: cos(pi/3 -x-pi/4)=cos(pi/6) .. ho proceduto ugualiando quello che c'e' dentro le parentesi ed aggiungendo 2kpi al membro di destra: pi/3-x-pi/4 = pi/6 + 2kpi ....
-------------------
Ok ho capito una delle cose che nn mi venivano.. ... il gli angoli delle funzioni del coseno sono o uguali o opposti... percio' se ho cos(pi/3 -x-pi/4)=cos(pi/6)
come prima soluzione mi risolvo:
pi/3 -x-pi/4 = pi/6 + 2kpi
e per la seconda soluzione:
pi/3 -x-pi/4 = -pi/6 + 2kpi
!
RIMANE CMQ IL SEGUENTE DUBBIO:
poi un'altra cosa...
se ho come risultato
[math]tg^2x= 1/2 [/math]
come faccio a scoprire x? se faccio
[math]tgx=+-\sqrt{1/2}[/math]
ed in seguito [math]tg^-1(+-\sqrt{1/2})[/math]
mi viene solo quella con il + ... l'altra x come me la scopro?
Cosa vuol dire "mi viene solo quella con il +" ?
Ricordati che tg(-x)=-tg(x)
Quindi se trovi l'angolo corrispondente al valore della tangente positiva, trovi anche l'angolo di quella negativa (che e' -x).
Cioe': se
Allora
Ricordati che tg(-x)=-tg(x)
Quindi se trovi l'angolo corrispondente al valore della tangente positiva, trovi anche l'angolo di quella negativa (che e' -x).
Cioe': se
[math] \tan x = \pm \sqrt3 [/math]
Allora
[math] x= \pm \frac{ \pi}{3} + k \pi [/math]
intendo dire che il risultato corrisponde a quello del libro solo per:
Per :
non corrisponde a quello de libro...
[math]
tg^-1(+\sqrt{1/2})
[/math]
tg^-1(+\sqrt{1/2})
[/math]
Per :
[math]
tg^-1(-\sqrt{1/2})
[/math]
tg^-1(-\sqrt{1/2})
[/math]
non corrisponde a quello de libro...
Scusa, ti dispiace postarmi l'esercizio intero e le soluzioni del libro?
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