Correzione esercizio
$f(x)=(-2e^(x-1)) (se 0<=x<1$)
$f(x)=x^2 (se 1<=x<=2$)
$g(x)=e^(x-1) (se 0<=x<1$)
$g(x)=-x-1 (se 1<=x<=2$)
Dimostrare che $f(x)$ e $g(x)$ non soddisfano il teorema degli zeri tra $[0;2]$
Secondo me $f(x)$ e $g(x)$ sono continue nell'intervallo dato e calcolando
$f(0)=-2/e$ ; $f(2)=4$
$g(0)=1/e$ ; $g(2)=-3$
Quindi il teorema degli zeri potrebbe essere soddisfatto...
Mi aiutate a capire dove sbaglio?
Grazie
$f(x)=x^2 (se 1<=x<=2$)
$g(x)=e^(x-1) (se 0<=x<1$)
$g(x)=-x-1 (se 1<=x<=2$)
Dimostrare che $f(x)$ e $g(x)$ non soddisfano il teorema degli zeri tra $[0;2]$
Secondo me $f(x)$ e $g(x)$ sono continue nell'intervallo dato e calcolando
$f(0)=-2/e$ ; $f(2)=4$
$g(0)=1/e$ ; $g(2)=-3$
Quindi il teorema degli zeri potrebbe essere soddisfatto...
Mi aiutate a capire dove sbaglio?
Grazie
Risposte
Sei sicuro che siano continue?
"Aletzunny":
Secondo me $f(x)$ e $g(x)$ sono continue nell'intervallo dato ...
Appunto, secondo te … fai molti errori banali di disattenzione a parer mio o forse è meglio dire di concentrazione ...
Può essere e lo accetto ma vorrei capire...
In $f(x)$ il $lim(x->1+)=lim(x->1-)=f(1)=1$ quindi dovrebbe soddisfare la richiesta per essere una funzione continua
Mentre su $x^2$ che limite dovrei fare?
$g(x)$ stesso ragionamento...
Dove sta l'errore?
Dovrei calcolare i limiti anche su $x^2$ e $-x-1$?
In $f(x)$ il $lim(x->1+)=lim(x->1-)=f(1)=1$ quindi dovrebbe soddisfare la richiesta per essere una funzione continua
Mentre su $x^2$ che limite dovrei fare?
$g(x)$ stesso ragionamento...
Dove sta l'errore?
Dovrei calcolare i limiti anche su $x^2$ e $-x-1$?
Una funzione è continua in un intervallo, se è continua in ogni punto dell'intervallo.
Una funzione $f(x)$ è continua in un punto $x_0$ se e solo se $\existslim_(x->x_0)f(x)=f(x_0)$
Quindi nel tuo caso devi verificare, perché esista il limite, che limite destro e sinistro coincidano per $x_0=1$.
La funzione è definita a tratti, quindi la definizione di $f(x)$ è diversa a seconda che consideriamo l'intervallo (/il limite) destro in $1$ piuttosto che l'intervallo (/il limite) sinistro in $1$.
Oh attenzione, non è che perché la funzione è definita a tratti allora non è continua, sia ben chiaro, devi verificarlo per l'appunto.
Una funzione $f(x)$ è continua in un punto $x_0$ se e solo se $\existslim_(x->x_0)f(x)=f(x_0)$
Quindi nel tuo caso devi verificare, perché esista il limite, che limite destro e sinistro coincidano per $x_0=1$.
La funzione è definita a tratti, quindi la definizione di $f(x)$ è diversa a seconda che consideriamo l'intervallo (/il limite) destro in $1$ piuttosto che l'intervallo (/il limite) sinistro in $1$.
Oh attenzione, non è che perché la funzione è definita a tratti allora non è continua, sia ben chiaro, devi verificarlo per l'appunto.
Mi sono perso scusa...
Quindi con $f(x)$ che limiti dovrei fare?
Questo?
$(lim_(x->1-)(-2e^(x-1))=(lim_(x->1+)(x^2))=(f(1))$?
Quindi con $f(x)$ che limiti dovrei fare?
Questo?
$(lim_(x->1-)(-2e^(x-1))=(lim_(x->1+)(x^2))=(f(1))$?
Si esatto. Però nel tuo caso quell'uguaglianza non c'è.
$ lim_(x->1^(-))(-2e^(x-1))!=lim_(x->1^+)(x^2) $
da cui non esiste $ lim_(x->1)f(x)$
$ lim_(x->1^(-))(-2e^(x-1))!=lim_(x->1^+)(x^2) $
da cui non esiste $ lim_(x->1)f(x)$
Si si però il procedimento è quello! adesso ho capito l'errore!
Grazie
Grazie
Quando consideri il limite a destra di 1 devi considerare il ramo della funzione che sta a destra. Viceversa, se calcoli il limite a sinistra devi considerare il ramo sinistro della funzione. Ramo sinistro e ramo destro non avranno la stessa equazione, ma sono diverse. In questo caso la discontinuità è a salto o di prima species. Se nel punto di raccordo non c'è discontinuità allora per forza la funzione è continua in quel pnto.
Ciao!
Ciao!
Grazie mille per il chiarimento
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