Correzione di un problema [Geometria analitica]
Buongiorno a tutti tutti tutti!
Potreste correggermi questo problema di geometria analitica per favore? Perché poi vi devo chiedere una cosuccia.
"Un triangolo isoscele ha la base di estremi $A(3, 0), B(5, 4)$ ed il vertice $C$ sull'asse $y$. Calcolare le coordinate del baricentro G, il perimetro 2p e l'area A del triangolo".
Allora, è $C(0, y)$ e $G(x_g, y_G)$. Essendo ABC triangolo isoscele, dev'essere verificata l'uguaglianza $bar(CB)=bar(CA)$, e quindi $-8y=-32$, cioè $y=4$. Quindi è $C(0, 4)$.
E' inoltre $G((3+5)/3, (4+4)/3)$, dunque $G(8/3, 8/3)$.
Passiamo al calcolo del perimetro: $2p=bar(AB)+bar(BC)+bar(CA)=sqrt(4+16)+5+5=10+sqrt(20)$.
E ora occupiamoci dell'area A. $A_(ABC)=(bar(AB)*bar(CH))/2=sqrt(20)/2*bar(CH)$.
Applico la formula seguente, utile per ricavare la distanza di un punto da una retta (poiché l'altezza di un triangolo è proprio la distanza dal vertice alla base corrispondente): $d=(ax_1+by_1+c)/sqrt(a^2+b^2)$, dove $x_1$ e $y_1$ sono le coordinate del punto $C(0, 4)$, e $a$ e $b$ sono i coefficienti delle incognite della retta su cui giace la base del triangolo $AB$, e $c$ è il termine noto di tale equazione. E quest'ultima si ricava dalla formula $(x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1)$ e quindi è $2x-y-6=0$. Tornando alla formula della distanza, ricavo che $bar(CH)=(2*0-4-6)/sqrt(4+1)=-10/sqrt(5)$. E ora vi chiedo, qual è il significato di questa altezza, che mi viene negativa?
Ma concludo con l'area: $A_(ABC)=-sqrt(20)/2 * 10/sqrt(5)$, che, svolgendo i calcoli e razionalizzando, è $-10$. Ma quel meno davanti cosa c'entra? Che significa?
Ditemi se ho commesso qualche errore/orrore, e giudicate il mio linguaggio (il mio prof di matematica tiene moltissimo al linguaggio, quindi siate MOLTO severi, mi raccomando, devo migliorare
).
Grazie in anticipo,
buona settimana
Potreste correggermi questo problema di geometria analitica per favore? Perché poi vi devo chiedere una cosuccia.
"Un triangolo isoscele ha la base di estremi $A(3, 0), B(5, 4)$ ed il vertice $C$ sull'asse $y$. Calcolare le coordinate del baricentro G, il perimetro 2p e l'area A del triangolo".
Allora, è $C(0, y)$ e $G(x_g, y_G)$. Essendo ABC triangolo isoscele, dev'essere verificata l'uguaglianza $bar(CB)=bar(CA)$, e quindi $-8y=-32$, cioè $y=4$. Quindi è $C(0, 4)$.
E' inoltre $G((3+5)/3, (4+4)/3)$, dunque $G(8/3, 8/3)$.
Passiamo al calcolo del perimetro: $2p=bar(AB)+bar(BC)+bar(CA)=sqrt(4+16)+5+5=10+sqrt(20)$.
E ora occupiamoci dell'area A. $A_(ABC)=(bar(AB)*bar(CH))/2=sqrt(20)/2*bar(CH)$.
Applico la formula seguente, utile per ricavare la distanza di un punto da una retta (poiché l'altezza di un triangolo è proprio la distanza dal vertice alla base corrispondente): $d=(ax_1+by_1+c)/sqrt(a^2+b^2)$, dove $x_1$ e $y_1$ sono le coordinate del punto $C(0, 4)$, e $a$ e $b$ sono i coefficienti delle incognite della retta su cui giace la base del triangolo $AB$, e $c$ è il termine noto di tale equazione. E quest'ultima si ricava dalla formula $(x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1)$ e quindi è $2x-y-6=0$. Tornando alla formula della distanza, ricavo che $bar(CH)=(2*0-4-6)/sqrt(4+1)=-10/sqrt(5)$. E ora vi chiedo, qual è il significato di questa altezza, che mi viene negativa?
Ma concludo con l'area: $A_(ABC)=-sqrt(20)/2 * 10/sqrt(5)$, che, svolgendo i calcoli e razionalizzando, è $-10$. Ma quel meno davanti cosa c'entra? Che significa?
Ditemi se ho commesso qualche errore/orrore, e giudicate il mio linguaggio (il mio prof di matematica tiene moltissimo al linguaggio, quindi siate MOLTO severi, mi raccomando, devo migliorare
).Grazie in anticipo,
buona settimana
Risposte
non è corretta la formula della distanza punto-retta, il numeratore va sotto valore assoluto
Anche la $sqrt20$ ha una forma che può essere migliorata $sqrt20=sqrt(2^2*5)=2sqrt5$, oltre ovviamente all'osservazione di itpareid che confermo.
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