Convergenza uniforme
Buongiorno, sto utilizzando il libro matematica.verde volete epsilon per affrontare l’argomento delle convergenza uniforme delle serie di funzioni.
Il male porta come esempio la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2}arctan nx$. Sintetizzo l’esempio per far capire il metodo usato (immagino c’è ne siano diversi).
Per far vedere che la convergenza è uniforme devo far vedere che $|\sum_{n=p+1}^{+\infty}\frac1{n^2}arctan nx|<\epsilon$.
Lo fa sfruttando il fatto che $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2}$ converge e quindi posso maggiorarla con $\frac {2\epsilon}\pi$, $arctan nx$ è comunque minore di $\frac{\pi}2$ e quindi tutto funziona.
Ora arrivo al mio problema: ho la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2}{x^n}$ e devo far vedere che converge in un intervallo [a,b] con $1
La parte $\frac1{x^n}$ ho pensato di maggiorarla con la somma della serie geometrica, ma poi non so come muovermi perché il pezzo che mi rimane è $\sum_{n=1}^{+\infty}n^2$, che non è maggiorabile.
Spero di essere stato chiaro nei miei dubbi. Se qualcuno riuscisse a farmi un po’ di chiarezza gli sarei molto grato, magari anche con qualche dritta generale per affrontare l’argomento che mi sembra “senza regole fisse”, ogni esercizio mi sembra faccia da sè e questo mi mette in difficoltà.
Il male porta come esempio la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2}arctan nx$. Sintetizzo l’esempio per far capire il metodo usato (immagino c’è ne siano diversi).
Per far vedere che la convergenza è uniforme devo far vedere che $|\sum_{n=p+1}^{+\infty}\frac1{n^2}arctan nx|<\epsilon$.
Lo fa sfruttando il fatto che $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2}$ converge e quindi posso maggiorarla con $\frac {2\epsilon}\pi$, $arctan nx$ è comunque minore di $\frac{\pi}2$ e quindi tutto funziona.
Ora arrivo al mio problema: ho la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2}{x^n}$ e devo far vedere che converge in un intervallo [a,b] con $1
La parte $\frac1{x^n}$ ho pensato di maggiorarla con la somma della serie geometrica, ma poi non so come muovermi perché il pezzo che mi rimane è $\sum_{n=1}^{+\infty}n^2$, che non è maggiorabile.
Spero di essere stato chiaro nei miei dubbi. Se qualcuno riuscisse a farmi un po’ di chiarezza gli sarei molto grato, magari anche con qualche dritta generale per affrontare l’argomento che mi sembra “senza regole fisse”, ogni esercizio mi sembra faccia da sè e questo mi mette in difficoltà.
Risposte
Lo puoi maggiorare sostituendo $a$ al posto della $x$ e ottieni una serie convergente.
Ok, grazie.
Quindi sarebbe:
$\sum_{n=p+1}^{+\infty}\frac{n^2}{x^n}\leq \sum_{n=p+1}^{+\infty}\frac{n^2}{a^n}<\epsilon$
e quindi converge uniformemente (dato che la seconda serie è convergente e quindi maggiorabile con $\epsilon$).
Provo a risolvere un altro esercizio:
$\sum_{n=p+1}^{+\infty}\frac{x^{2n}}{2^n+5^n}$ converge uniformemente in intervalli del tipo $-\sqrt5
$\sum_{n=p+1}^{+\infty}\frac{x^{2n}}{2^n+5^n}< \sum_{n=p+1}^{+\infty}\frac{b^{2n}}{5^n}<\epsilon$
Con l’ultima disuguaglianza verificata perché ho una serie geometrica di ragione $\frac{b^2}5 $che converge nell’intervallo.
Potreste dirmi se il ragionamento è corretto?
Quindi sarebbe:
$\sum_{n=p+1}^{+\infty}\frac{n^2}{x^n}\leq \sum_{n=p+1}^{+\infty}\frac{n^2}{a^n}<\epsilon$
e quindi converge uniformemente (dato che la seconda serie è convergente e quindi maggiorabile con $\epsilon$).
Provo a risolvere un altro esercizio:
$\sum_{n=p+1}^{+\infty}\frac{x^{2n}}{2^n+5^n}$ converge uniformemente in intervalli del tipo $-\sqrt5
$\sum_{n=p+1}^{+\infty}\frac{x^{2n}}{2^n+5^n}< \sum_{n=p+1}^{+\infty}\frac{b^{2n}}{5^n}<\epsilon$
Con l’ultima disuguaglianza verificata perché ho una serie geometrica di ragione $\frac{b^2}5 $che converge nell’intervallo.
Potreste dirmi se il ragionamento è corretto?
Ti faccio un esempio se $a=-2$ e $b= -1$, la maggiorante non è
$ \sum_{n=p+1}^{+\infty}\frac{b^{2n}}{5^n}<\epsilon $ bensì $ \sum_{n=p+1}^{+\infty}\frac{a^{2n}}{5^n}<\epsilon $
Dovresti mettere attenzione al segno e, soprattutto, al modulo di $a$ e $b$, per evidenziare correttamente la maggiorante.
$ \sum_{n=p+1}^{+\infty}\frac{b^{2n}}{5^n}<\epsilon $ bensì $ \sum_{n=p+1}^{+\infty}\frac{a^{2n}}{5^n}<\epsilon $
Dovresti mettere attenzione al segno e, soprattutto, al modulo di $a$ e $b$, per evidenziare correttamente la maggiorante.
Giusto, non ci avevo pensato.
C’è un modo “rapido” per sintetizzare tutti i casi (per esempio utilizzando il modulo, ma non vedo come possa funzionare dato che la serie è già a termini positivi) oppure è necessario fare proprio due casi distinti, cioè il caso $|a|<|b|$ e $|a|>|b|$?
Una volta sistemato questo punto, il resto funziona?
Cioè, sistemati il fatto che il maggiorante sia con a o con b il ragionamento che porta all’uniforme convergenza è questo?
Grazie per l’aiuto
C’è un modo “rapido” per sintetizzare tutti i casi (per esempio utilizzando il modulo, ma non vedo come possa funzionare dato che la serie è già a termini positivi) oppure è necessario fare proprio due casi distinti, cioè il caso $|a|<|b|$ e $|a|>|b|$?
Una volta sistemato questo punto, il resto funziona?
Cioè, sistemati il fatto che il maggiorante sia con a o con b il ragionamento che porta all’uniforme convergenza è questo?
Grazie per l’aiuto
@melia
[ot]Ma si fanno veramente le "convergenze uniformi di serie di funzioni" alle Superiori? Tra l'altro neanche allo Scientifico ...
E se fosse così, non è uno spreco di tempo (ora poi ...)?
Per curiosità, eh!
[/ot]
Cordialmente, Alex
[ot]Ma si fanno veramente le "convergenze uniformi di serie di funzioni" alle Superiori? Tra l'altro neanche allo Scientifico ...
E se fosse così, non è uno spreco di tempo (ora poi ...)?
Per curiosità, eh!
[/ot]Cordialmente, Alex
Dice che ha il testo verde, quindi un tecnico tecnologico.
"nicola6":
Spero di essere stato chiaro nei miei dubbi. Se qualcuno riuscisse a farmi un po’ di chiarezza gli sarei molto grato, magari anche con qualche dritta generale per affrontare l’argomento che mi sembra “senza regole fisse”, ogni esercizio mi sembra faccia da sè e questo mi mette in difficoltà.
In generale se hai una successione di funzioni \( f_n(x) \), e vuoi dimostrare che converge uniformemente a \(f(x) \) su un certo insieme \( A \subseteq \mathbb{R} \), ti basta maggiorare su \(A\)
\[ \left| f_n(x) - f(x) \right| \leq a_n \]
dove \( a_n \) è una successione che non dipende da \(x\) e che converge a zero.
Nei tuoi casi riesci sempre a minorarla con "la coda" di una serie convergente, e dunque la coda converge a zero perché è condizione necessaria alla convergenza della serie.
Quello che "cambia in ogni esercizio" è solo il modo in cui maggiori \( \left| f_n(x) - f(x) \right| \).
"axpgn":
@melia
[ot]Ma si fanno veramente le "convergenze uniformi di serie di funzioni" alle Superiori? Tra l'altro neanche allo Scientifico ...
E se fosse così, non è uno spreco di tempo (ora poi ...)?
Per curiosità, eh!
Cordialmente, Alex
[ot]Non ci crederai, ma sorprende anche a me!
[/ot]
Grazie mille a tutti!
Detta molto terra terra: per maggiorare la serie (nei casi più semplici), se ci sono seni/coseni/arcotangenti quelli li minoro con 1 e pi/2, il resto lo minoro sostituendo gli estremi dell’intervallo (con attenzione a quello che scelgo).
Ottengo una serie numerica che converge e quindi faccio “saltare fuori” la epsilon.
Detta in modo molto poco rigoroso, ma giusto per capire. Poi chiaramente quando si va su cose più complicate bisognerà trovare altre strategie, ma per i casi che ho incontrato mi pare di capire che la maggior parte delle volte capiti ciò.
Vi tolgo il pensiero ahah: non sono alle superiori, sto riprendendo l’argomento da autodidatta, ho trovato questo libro delle superiori e quindi mi sembrava una buona cosa partire da un testo delle superiori...
Non so se effettivamente si faccia, io vengo da uno scientifico e non ho mai parlato di queste cose
Detta molto terra terra: per maggiorare la serie (nei casi più semplici), se ci sono seni/coseni/arcotangenti quelli li minoro con 1 e pi/2, il resto lo minoro sostituendo gli estremi dell’intervallo (con attenzione a quello che scelgo).
Ottengo una serie numerica che converge e quindi faccio “saltare fuori” la epsilon.
Detta in modo molto poco rigoroso, ma giusto per capire. Poi chiaramente quando si va su cose più complicate bisognerà trovare altre strategie, ma per i casi che ho incontrato mi pare di capire che la maggior parte delle volte capiti ciò.
Vi tolgo il pensiero ahah: non sono alle superiori, sto riprendendo l’argomento da autodidatta, ho trovato questo libro delle superiori e quindi mi sembrava una buona cosa partire da un testo delle superiori...
Non so se effettivamente si faccia, io vengo da uno scientifico e non ho mai parlato di queste cose
Però il libro c'è quindi, quantomeno in teoria, sono argomenti che si trattano alle Superiori ed anche fuori dallo Scientifico ...
Ah si sì, sto scoprendo un “mondo nuovo” con i libri delle superiori... pensavo che i contenuti del liceo scientifico fossero i più completi, invece questi libri per i tecnici hanno diverse cose in più... immagino sia diverso il livello di approfondimento dei vari argomenti, in base a quello che serve ai fini dell’indirizzo
Comunque, Nicola6, se ti capitano tra le mani i nuovi testi dello Scientifico (quelli blu) scoprirai che contengono argomenti che fino a 10 anni fa si facevano solo al PNI.
Capito!
Disturbo ancora riguardo la convergenza. Mi potreste fare un esempio di funzione che in un certo intervallo converga, ma non uniformemente? Su internet trovo solo esempi di funzione a tratti, mi chiedevo se fosse possibile anche con una funzione definita da una sola espressione.
Cioè, ho capito la differenza tra convergenza puntuale e uniforme a livello teorico, ma non capisco a livello “pratico” quando emerge questa differenza.
Disturbo ancora riguardo la convergenza. Mi potreste fare un esempio di funzione che in un certo intervallo converga, ma non uniformemente? Su internet trovo solo esempi di funzione a tratti, mi chiedevo se fosse possibile anche con una funzione definita da una sola espressione.
Cioè, ho capito la differenza tra convergenza puntuale e uniforme a livello teorico, ma non capisco a livello “pratico” quando emerge questa differenza.
\( f_n(x) = x^n \) converge puntualmente su \( ]0,1[ \) (in realtà di più, converge localmente uniformemente su \( ]0,1[ \)) ma non converge uniformemente su \( ]0,1[ \).
ps: localmente uniformemente su \( ]0,1[ \) vuol dire che converge uniformemente su tutti gli intervalli del tipo \( [a,b] \subset ]0,1[ \).
ps: localmente uniformemente su \( ]0,1[ \) vuol dire che converge uniformemente su tutti gli intervalli del tipo \( [a,b] \subset ]0,1[ \).
@nicola6
Ma se stai studiando da autodidatta, non ti conviene studiare direttamente su libri universitari per quanto riguarda questi argomenti più avanzati che, per forza di cose, comunque non sono (e non possono ne vogliono essere) trattati approfonditamente sui libri delle Superiori?
Voglio dire, va bene riprendere con i libri delle Superiori ma per argomenti delle Superiori non altro ... IMHO
Cordialmente, Alex
Ma se stai studiando da autodidatta, non ti conviene studiare direttamente su libri universitari per quanto riguarda questi argomenti più avanzati che, per forza di cose, comunque non sono (e non possono ne vogliono essere) trattati approfonditamente sui libri delle Superiori?
Voglio dire, va bene riprendere con i libri delle Superiori ma per argomenti delle Superiori non altro ... IMHO
Cordialmente, Alex
"3m0o":
\( f_n(x) = x^n \) converge puntualmente su \( ]0,1[ \) (in realtà di più, converge localmente uniformemente su \( ]0,1[ \)) ma non converge uniformemente su \( ]0,1[ \).
ps: localmente uniformemente su \( ]0,1[ \) vuol dire che converge uniformemente su tutti gli intervalli del tipo \( [a,b] \subset ]0,1[ \).
Ah ok, perché se prendo un intervallo [a,b] la maggiori con $b^n$, mentre se ho $[0,1]$ non riesco a maggiorare, giusto?
Grazie mille per la disponibilità, davvero.
Ho visto che era un argomento trattato su libri delle superiori, ho solo pensato che, per iniziare, poteva andare bene quello, visto che non dovevo partire già da un livello di grande approfondimento. La prospettiva era poi di spostarmi sui libri universitari, ma mi sembrava inutile farlo senza essere “a posto” con un livello inferiore di difficoltà. Grazie per il consiglio!
Se, anzi, avete consigli a riguardo di libri/dispense ben vengano, preferibilmente ricchi di esercizi.
"nicola6":
Ah ok, perché se prendo un intervallo [a,b] la maggiori con $b^n$, mentre se ho $[0,1]$ non riesco a maggiorare, giusto?
Grazie mille per la disponibilità, davvero.
Sni. Riesci a maggiorarla anche in \( [0,1] \), o in \( ]0,1[ \), solo che lo fai con una cosa che non converge a zero. Nel senso che per ogni \(n\) hai
\[ \sup_{x \in ]0,1[ } \left| f_n(x) - 0 \right| = 1 \]
Mentre se \( 0 < a < b < 1 \) allora
\[ \sup_{x \in [a,b] } \left| f_n(x) - 0 \right| = b^n \xrightarrow{n \to \infty} 0 \]
Per la convergenza puntuale invece preso un qualunque \( x \in ]0,1[ \) hai chiaramente che \( \lim_{n \to \infty} x^n = 0 \), quindi \( f_n \to 0 \) puntualmente, localmente uniformemente, ma non uniformemente sull'aperto \(]0,1[ \).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo