Convergenza della serie

[reanto91]

salve avrei bisogno di aiuto con lo studio della convergenza della serie:

[math]\sum_{n=1 }^{\infty}\frac{3n^2+n+sin(n)}{4n^3+2n+cos(n)}\cdot sin ( \frac{1}{\sqrt{n}} )[/math]

ditemi come iniziare... grazie

[rino6999]

piccolo suggerimento
detto An il termine generale della serie e posto Bn=(1/n)*(1/radqn) verifica che lim per n-->+inf An/Bn=l con l diverso da zero e traine le dovute conseguenze

[reanto91]

mi potresti gentilmente spiegare meglio
dicendomi tutti i passaggi
sto andando in confusione
grazie

[rino6999]

c'è un criterio del confronto che dice che se due serie a termini positivi, di termine generale An e Bn,sono tali che lim per n-->+inf An/Bn=l con l diverso da zero,allora le due serie hanno lo stesso carattere

ora,1/n*1/radqn=1/(n^3/2)
quindi Bn è del tipo 1/n^p (serie armonica generalizzata)
questa serie converge per ogni p>1
quindi la serie di termine 1/(n^3/2) converge e di conseguenza converge anche la serie di termine An

[reanto91]

ho provato a svolgerla in questo modo, correggimi se ho sbagliato:

[math]\lim_{n \to \infty }\frac{3n^2+n+sin(n)}{4n^3+2n+cos(n)}\cdot sin ( \frac{1}{\sqrt{n}} )[/math]

[math]\lim_{n \to \infty }\frac{3n^2+n+sin(n)}{4n^3+2n+cos(n)}\cdot\lim_{n \to \infty } sin ( \frac{1}{\sqrt{n}} )[/math]

[math]\lim_{n \to \infty }\frac{n^2(3+\frac{1}{n}+\frac{sin(n)}{n^2})}{n^3(4+\frac{2}{n^2}+\frac{cos(n)}{n^3})}\cdot sin(\lim_{n \to \infty } ( \frac{1}{\sqrt{n}}))[/math]

[math]\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n}\frac{(3+\frac{1}{n}+\frac{sin(n)}{n^2})}{(4+\frac{2}{n^2}+\frac{cos(n)}{n^3})}\cdot sin(\lim_{n \to \infty } ( \frac{1}{\sqrt{n}} ))[/math]

[math]=0\cdot \frac{3}{4}\cdot 0=0[/math]

quindi la serie converge..
è giusto??

[rino6999]

no ,io ho preso Bn=1/n*1/radqn proprio perchè in questo modo il limite è un numero diverso da zero
infatti l'1/n fa in modo che al numeratore e al denominatore ci siano due polinomi dello stesso grado
l'1/radqn fa in modo che compaia il limite per n-->+inf di (sin1/radqn)/(1/radqn)=1
in conclusione lim n-->+inf an/bn=3/4
se il limite valesse zero non potresti applicare il metodo del confronto

[ciampax]

@reanto: far vedere che

[math]\lim_{n\to+\infty} a_n=0[/math]

ti permette solo di affermare che la serie "potrebbe convergere". Infatti il teorema noto è il seguente

Se

[math]\sum_{n=0}^{\infty} a_n[/math]

converge, allora

[math]\lim_{n\to+\infty} a_n=0[/math]

il quale in genere va usato nella sua forma contronominale

se

[math]\lim_{n\to+\infty} a_n\not=0[/math]

allora

[math]\sum_{n=0}^{\infty} a_n[/math]

non converge

Per studiare la convergenza della tua serie dovrai applicare un criterio (confronto, confronto asintotico, rapporto, radice) e vedere cosa puoi concludere.
Conosci tali criteri?

@rino: potresti scrivere le formule matematiche usando il latex? Non si capisce molto bene cosa scrivi, grazie.

[rino6999]

per leggerlo ho dovuto cambiare browser
ma di scriverlo non ne vuol sapere
reanto,visto che anche tu all'inizio hai avuto difficoltà,magari descrivimi tutti i passi che hai seguito per arrivare all'agognata meta

[ciampax]

# rino6999 :
per leggerlo ho dovuto cambiare browser
ma di scriverlo non ne vuol sapere
reanto,visto che anche tu all'inizio hai avuto difficoltà,magari descrivimi tutti i passi che hai seguito per arrivare all'agognata meta

Quale browser usi? Io le formule scritte da reanto le vedo bene, le tue non hanno il tag math all'inizio e alla fine.

[rino6999]

con internet explorer non lo leggevo ,con google chrome sì
con il tag math a me non succede niente
non riesco a fare nemmeno le cose più semplici,come ad esempio sottolineare una parola

[ciampax]

Internet explorer buttalo! :asd
Il tag math va chiuso tra parentesi quadre e in generale per tutti i tag si usa la seguente logica:

[tag]........[/tag]

Esempio: la scrittura

[math]1+2=3[/math]

fornisce l'output

[math]1+2=3[/math]

[reanto91]

i criteri li conosco
ma no riesco cd applicarli
a questa serie.
se mi potete aiutare
grazie.

[ciampax]

A me pare che il confronto asintotico sia più che sufficiente. Osserva che per i vari fattori presenti nel termine generale valgono i confronti per ordine di infinito seguenti:

[math]3n^2+n+\sin n\sim 3n^2\\ 4n^3+2n+\cos n\sim 4n^3\\ \sin\frac{1}{\sqrt{n}}\sim\frac{1}{\sqrt{n}}[/math]

da cui segue

[math]a_n\sim\frac{3n^2}{4n^3}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{3}{4n^{3/2}}[/math]

Pertanto la tua serie si comporta, asintoticamente, come la seguente

[math]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}[/math]

la quale, essendo una serie armonica generalizzata con esponente

[math]p=3/2>1[/math]

converge. Pertanto la serie originale converge.

[reanto91]

ok grazie mille