Continuità e derivabilità funzione
Buongiorno, ho un dubbio sullo studio della continuità e della derivabilità di una funzione definita in un intervallo:
$f:[a,b]->R$
Per dire che $f$ sia continua in $[a,b]$ devo verificare che:
$lim_(x->a^+)(f(x))=f(a)$
e
$lim_(x->b^-)(f(x))=f(b)$
Giusto?
Per la derivabilità in $(a,b)$ devo verificare che
$lim_(x->a^+)(f'(x))=h$
e
$lim_(x->b^-)(f'(x))=k$
Dove $h$ e $k$ sono due valori finiti non per forza uguali.
Giusto?
Grazie a chi mi aiuterà
$f:[a,b]->R$
Per dire che $f$ sia continua in $[a,b]$ devo verificare che:
$lim_(x->a^+)(f(x))=f(a)$
e
$lim_(x->b^-)(f(x))=f(b)$
Giusto?
Per la derivabilità in $(a,b)$ devo verificare che
$lim_(x->a^+)(f'(x))=h$
e
$lim_(x->b^-)(f'(x))=k$
Dove $h$ e $k$ sono due valori finiti non per forza uguali.
Giusto?
Grazie a chi mi aiuterà
Risposte
"Aletzunny":
Buongiorno, ho un dubbio sullo studio della continuità e della derivabilità di una funzione definita in un intervallo:
$f:[a,b]->R$
Per dire che $f$ sia continua in $[a,b]$ devo verificare che:
$lim_(x->a^+)(f(x))=f(a)$
e
$lim_(x->b^-)(f(x))=f(b)$
Giusto?
No,
prendi \( f: [0,1] \to \mathbb{R} \) definita da
\[ f(x):= \left\{\begin{matrix}
0& \text{se} & x \in [0,1/3] \\
1/2 & \text{se} & x \in (1/3,2/3) \\
1 & \text{se} & x \in [2/3,1]
\end{matrix}\right. \]
Non è continua ma \( \lim\limits_{x \xrightarrow[\geq]{} 0} f(x) = 0 =f(0) \) e \( \lim\limits_{x \xrightarrow[\leq]{} 1} f(x) = 1 =f(1) \)
Quello che stai verificando è la continuità in \( a \) e in \(b \).
"Aletzunny":
Per la derivabilità in $(a,b)$ devo verificare che
$lim_(x->a^+)(f'(x))=h$
e
$lim_(x->b^-)(f'(x))=k$
Dove $h$ e $k$ sono due valori finiti non per forza uguali.
Giusto?
Grazie a chi mi aiuterà
No,
prendi \( f: [-1,1] \to \mathbb{R} \) definita da \( x \mapsto \left|x \right| \) non è derivabile in \(0 \).
Inoltre se vuoi verificare che sia derivabile in un intervallo non ha senso scrivere \( f'(x) \) in quanto non sai ancora se ha senso parlare della derviata di qualcosa che non sai se è derivabile a priori.
Ma allora per applicare i vari teorema di Rolle, Lagrange ecc come faccio a verificare la continuità in $[a,b]$ e la derivabilità in $(a,b)$?
Non mi è chiaro questo aspetto e come ragionare sugli esercizi di conseguenza!
Non mi è chiaro questo aspetto e come ragionare sugli esercizi di conseguenza!
"Aletzunny":
Ma allora per applicare i vari teorema di Rolle, Lagrange ecc come faccio a verificare la continuità in $[a,b]$ e la derivabilità in $(a,b)$?
Non mi è chiaro questo aspetto e come ragionare sugli esercizi di conseguenza!
Porta un esempio di un esercizio dove devi applicare Rolle o Lagrange. Perché dipende dal tipo di esercizi che hai.
Spesso Rolle e Lagrange sono strumenti utilissimi per dimostrare altri risultati, ma non è detto che devi dimostrare che la \(f \) sia continua e derivabile. Ad esempio
Sia \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) una funzione due volte derivabile, tale che \( f(a)=f(a+1)=f(a+2) \), per qualche \( a \in \mathbb{R} \)
Dimostra che esiste \( k \in \mathbb{R} \) tale che \(f''(k) =0 \).
La dimostrazione di questo esercizio lo puoi fare solo utilizzando Lagrange, ma non devi dimostrare che \( f \) sia continua e derivabile perché ce l'hai già come ipotesi.
Dimostrazione
Comunque per verificare la continuità di \(f \) su un insieme devi utilizzare la definizione di continuità. Una funzione è continua in un insieme se è continua in ogni suo punto. Oppure dipende da che funzione hai. Se hai una funzione definita a pezzi da funzioni continue devi verificare solo in alcuni punti la continuità. Dipende molto dalla funzione che ti ritrovi. Idem per la derivabilità.
Bene ho capito allora il fatto delle dimostrazioni in cui si chiede altro supponendo le dimostrazioni!
Scusami ma mi è davvero difficile decifrare la tua frase.
Nel esempio prima, hai come ipotesi che \( f \) è derivabile 2 volte su \( \mathbb{R} \) e questo implica che \( f \) è continua in ogni intervallo del tipo \( [x,y] \) e derivabile in ogni intervallo \( (x,y) \) e che \( f' \) è continua in ogni intervallo del tipo \( [x,y] \) e derivabile in ogni intervallo \( (x,y) \). Quindi puoi applicare Lagrange sia su \( f \) sia su \( f' \), ma non su \( f'' \) ad esempio perché non sai ne se è continua ne se è derivabile.
Nel esempio prima, hai come ipotesi che \( f \) è derivabile 2 volte su \( \mathbb{R} \) e questo implica che \( f \) è continua in ogni intervallo del tipo \( [x,y] \) e derivabile in ogni intervallo \( (x,y) \) e che \( f' \) è continua in ogni intervallo del tipo \( [x,y] \) e derivabile in ogni intervallo \( (x,y) \). Quindi puoi applicare Lagrange sia su \( f \) sia su \( f' \), ma non su \( f'' \) ad esempio perché non sai ne se è continua ne se è derivabile.
Si perdonami ma l'ho scritta di fretta in treno! Ho capito, come poi mi hai ben specificato tu nel post successivo, perché alcune dimostrazioni partano già dall'ipotesi continua e derivabile
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