Consiglio per espozione orale
Salve ragazzi, vorrei chiedervi un prezioso aiuto. Devo essere interrogato su alcuni argomenti di matematica, riguardanti tutto il programma fino al 4° anno di liceo scientifico. In particolare Geometria Analitica, Trigonometria Goniometria, Algebra, Geometria.
Quello che devo fare principalmente è esporre, e dunque devo allenarmi appunto sull'esposizione di alcuni argomenti.
Volevo chiedervi alcuni consigli sull'esposizione, che deve essere sobria, logica, ed esauriente.
Proverò adesso ad esporvi la retta, e gradirei qualche dritta, critica, consiglio.
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La retta viene definita da euclide come un ente geometrico unidimensionale ed illimitato nelle due direzioni. In geometria analitica in particolare, la retta può essere definita come il luogo geometrico di punti P(x;y) che soddisfano una determinata condizione la quale può essere espressa matematicamente con un equazione di primo grado:
$ax+by+c=0$
Tuttavia viene convenzionalmente usata l'equazione ottenuta esplicitando la variabile y:
$y=mx +q$ con $m=-a/b$ e $q=-c/b$
Quest'ultima ha il vantaggio di avere solo due coefficenti con preciso significato geometrico, ma lo svantaggio di non poter rappresentare ogni retta del piano: sono escluse quelle verticali, poiche dobbiamo porre come condizione $b!=0$.
$m$ viene definito coefficente angolare della retta e sta ad indicare l'inclinazione della retta con l'asse x, ossia è la tangente dell'angolo che la retta forma con l'asse delle ascisse, ossia il quoziente delle ordinate di due punti appartenenti alla retta con la differenza delle ascisse dei due punti.
$q$ viene definito ordinata all'origine e sta a indicare l'ordinata del punto di intersezione tra la retta e l'asse y.
Assegnando valori ad $m$ E $q$ si possono ottenere tutte le rette rappresentabili nel piano(escluse le verticali).
Tuttavia, possiamo studiare come variano la retta fissando uno dei due coefficenti, e facendo variare l'altro.
Ponendo quindi come parametro variabile $m$,otteniamo un fascio di rette passante per un punto, detto fascio proprio, mentre ponendo come fisso $m$, e facendo variare $q$, otterremo un fascio detto improprio, ossia tutte rette parallele con coefficente $m$.
Per ottenere l'equazione di un fascio di rette possiamo procedere in due modi:
1) proprio: imponiamo ad una generica retta la sola condizione di passare per un punto$P(x_p;y_p)$. Ossia mettiamo a sistema la generica retta con la condizione di appartenenza del punto.
$\{(y=mx+q),(y_p=mx_p +q):}$
Otteniamo l'equazione risolvente: $y-y_p=m(x-x_p)$
improprio: assegnamo un valore a $q$
2)Possiamo combinare linearmente le due equazione esplicite, ossia ponendo uguale a zero la somma delle due equazione esplicite moltiplicate per due fattore diversi da zero(questa frase secondo me ha qualche imprecisione), ottenendo un fascio di rette generato dalle due rette in partenza:
$h'(ax+by+c)+h(a'x+b'y+c')=0$
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Che ne dite? Cosa ho sbagliato, e cosa può essere migliorato?
Grazie mille per il vostro aiuto!!
p.s. una volta scritto tutto il messaggio l'ho cancellato per sbaglio e ho dovuto riscrivere tutto xD che fatica!
Quello che devo fare principalmente è esporre, e dunque devo allenarmi appunto sull'esposizione di alcuni argomenti.
Volevo chiedervi alcuni consigli sull'esposizione, che deve essere sobria, logica, ed esauriente.
Proverò adesso ad esporvi la retta, e gradirei qualche dritta, critica, consiglio.
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La retta viene definita da euclide come un ente geometrico unidimensionale ed illimitato nelle due direzioni. In geometria analitica in particolare, la retta può essere definita come il luogo geometrico di punti P(x;y) che soddisfano una determinata condizione la quale può essere espressa matematicamente con un equazione di primo grado:
$ax+by+c=0$
Tuttavia viene convenzionalmente usata l'equazione ottenuta esplicitando la variabile y:
$y=mx +q$ con $m=-a/b$ e $q=-c/b$
Quest'ultima ha il vantaggio di avere solo due coefficenti con preciso significato geometrico, ma lo svantaggio di non poter rappresentare ogni retta del piano: sono escluse quelle verticali, poiche dobbiamo porre come condizione $b!=0$.
$m$ viene definito coefficente angolare della retta e sta ad indicare l'inclinazione della retta con l'asse x, ossia è la tangente dell'angolo che la retta forma con l'asse delle ascisse, ossia il quoziente delle ordinate di due punti appartenenti alla retta con la differenza delle ascisse dei due punti.
$q$ viene definito ordinata all'origine e sta a indicare l'ordinata del punto di intersezione tra la retta e l'asse y.
Assegnando valori ad $m$ E $q$ si possono ottenere tutte le rette rappresentabili nel piano(escluse le verticali).
Tuttavia, possiamo studiare come variano la retta fissando uno dei due coefficenti, e facendo variare l'altro.
Ponendo quindi come parametro variabile $m$,otteniamo un fascio di rette passante per un punto, detto fascio proprio, mentre ponendo come fisso $m$, e facendo variare $q$, otterremo un fascio detto improprio, ossia tutte rette parallele con coefficente $m$.
Per ottenere l'equazione di un fascio di rette possiamo procedere in due modi:
1) proprio: imponiamo ad una generica retta la sola condizione di passare per un punto$P(x_p;y_p)$. Ossia mettiamo a sistema la generica retta con la condizione di appartenenza del punto.
$\{(y=mx+q),(y_p=mx_p +q):}$
Otteniamo l'equazione risolvente: $y-y_p=m(x-x_p)$
improprio: assegnamo un valore a $q$
2)Possiamo combinare linearmente le due equazione esplicite, ossia ponendo uguale a zero la somma delle due equazione esplicite moltiplicate per due fattore diversi da zero(questa frase secondo me ha qualche imprecisione), ottenendo un fascio di rette generato dalle due rette in partenza:
$h'(ax+by+c)+h(a'x+b'y+c')=0$
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Che ne dite? Cosa ho sbagliato, e cosa può essere migliorato?
Grazie mille per il vostro aiuto!!
p.s. una volta scritto tutto il messaggio l'ho cancellato per sbaglio e ho dovuto riscrivere tutto xD che fatica!
Risposte
Nessuno mi può dare un giudizio :cry: ? E' importante ! Grazie :-D
Euclide non da alcuna definizione di retta che è, e resta anche nella sistemazione assiomatica di Hilbert, un ente primitivo, cioè non definibile: ogni definizione che si tenta non fa altro che evocare qualche cosa già presente intuitivamente nella nostra mente. Euclide (e poi Hilbert) fornisce con i suoi assiomi uno schema che di principi che "regolamentano" il comportamento e la relazione sussitente tra rette e punti (un altro concetto primitivo): in altri termini, questi assiomi (che in Hilbert sono lo schema degli assiomi di collegamento), spiegano come si comportano le rette rispetto a punti e piani (ancora un ente primitivo).
Non direi che viene convenionalmente usata la forma esplicita per definire la retta tramite equazione, difatti se in [tex]ax+by+c=0[/tex] ha senso porre [tex]b=0[/tex], tramite questa posizione non ha senso passare alla forma esplicita, per ottenre la quale deve essere, appunto, [tex]b\neq0[/tex] (e questo lo hai detto), direi piuttosto che si può, sotto opportuna condizione, usare la forma esplicita.
Il coefficiente angolare è la tangente trigonometrica dell'angolo formato dalla retta col semiasse positivo delle ascisse: di solito il solo termine tangente designa la tangente geometrica ed è importante indicare rispetto a quale asse si orientano gli angoli, non basta cioè citare l'asse delle ascisse. Questa tangente trigonometrica può essere calcolata come il rapporto tra l'incremento della variabile dipendente ed il corrispondente incremento della variabile dipendente: dati cioè due punti [tex]x_{1},x_{2}[/tex] dell'asse delle ascisse, posto [tex]y_{1},y_{2}[/tex] rispettivamente il corrispondente di [tex]x_{1},x_{2}[/tex], il coefficiente angolare vale [tex]$ \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$[/tex]. C'è da sottolineare che questo rapporto non definisce il coefficiente angolare delle parallele all'asse delle ordinate: difatti, in goniometria, la tangente trigonometria di un agolo retto non esiste, inoltre per l'angolo retto la tangente trigonometrica vale [tex]+\infty[/tex] e per l'angolo di [tex]270°[/tex] vale [tex]-\infty[/tex], sicché si suol dire che il coefficiente angolare delle parallele all'asse delle ordinate è [tex]\infty[/tex].
Lo studio dei coefficienti angolari definisce anche la posizione reciproca tra due rette.
Non è vero che la combinazione lineare delle equazioni di due rette definisce solo il fascio improprio: definisce anche quello proprio. Quale dei due definisca dipende da quali sono i coefficienti usati per la combinazione lineare e da quali sono le rette.
Non direi che viene convenionalmente usata la forma esplicita per definire la retta tramite equazione, difatti se in [tex]ax+by+c=0[/tex] ha senso porre [tex]b=0[/tex], tramite questa posizione non ha senso passare alla forma esplicita, per ottenre la quale deve essere, appunto, [tex]b\neq0[/tex] (e questo lo hai detto), direi piuttosto che si può, sotto opportuna condizione, usare la forma esplicita.
Il coefficiente angolare è la tangente trigonometrica dell'angolo formato dalla retta col semiasse positivo delle ascisse: di solito il solo termine tangente designa la tangente geometrica ed è importante indicare rispetto a quale asse si orientano gli angoli, non basta cioè citare l'asse delle ascisse. Questa tangente trigonometrica può essere calcolata come il rapporto tra l'incremento della variabile dipendente ed il corrispondente incremento della variabile dipendente: dati cioè due punti [tex]x_{1},x_{2}[/tex] dell'asse delle ascisse, posto [tex]y_{1},y_{2}[/tex] rispettivamente il corrispondente di [tex]x_{1},x_{2}[/tex], il coefficiente angolare vale [tex]$ \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$[/tex]. C'è da sottolineare che questo rapporto non definisce il coefficiente angolare delle parallele all'asse delle ordinate: difatti, in goniometria, la tangente trigonometria di un agolo retto non esiste, inoltre per l'angolo retto la tangente trigonometrica vale [tex]+\infty[/tex] e per l'angolo di [tex]270°[/tex] vale [tex]-\infty[/tex], sicché si suol dire che il coefficiente angolare delle parallele all'asse delle ordinate è [tex]\infty[/tex].
Lo studio dei coefficienti angolari definisce anche la posizione reciproca tra due rette.
Non è vero che la combinazione lineare delle equazioni di due rette definisce solo il fascio improprio: definisce anche quello proprio. Quale dei due definisca dipende da quali sono i coefficienti usati per la combinazione lineare e da quali sono le rette.
Grazie mille Wizard.. Quindi secondo te dovrei specificare meglio la definizione di coefficente angolare come tangente trigonometrica (e non geometrica)dell'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse, che può essere calcolata come il rapporto tra la differenza delle ordinate di due punti $x_1$,$x_2$ appartenenti alla retta e la differenza delle corrispettive ascisse dei suddetti punti. Come la tangente trigonometrica non è definita per l'angolo retto, perchè sarebbe un rapporto con denominatore nullo, così il coefficente angolare di una retta parallela all'asse y, che forma quindi 90 gradi con il semiasse positivo delle ascisse, non può essere definito.
Inoltre mi hai fatto notare che posso ben inserire il concetto di posizione reciproca di rette grazie al coefficente angolare:
il coefficente angolare è utile anche nello studio della posizione reciproca di due rette. In generale si può dire che per fare ciò bisogna mettere a sistema le due equazioni delle due rette e a seconda se il sistema è determinato, indeterminato, impossibile dedurre ripettivamente l'incidenza,la coincidenza,o il parallelismo tra le due rette. Si nota che: il sistema è impossibile solo nel caso in cui le rette hanno stesso coefficente angolare( e giacciono sullo stesso piano ovviamente ); quando il sistema è determinato e le due rette hanno coefficenti angolare tali che $m_1m_2=-1$ ossia sono antireciproci, le due rette sono perpendicolari.
Domanda 1: Per quanto riguarda la definizione di euclide, l'ho trovata su wikipedia : http://it.wikipedia.org/wiki/Retta
Forse ho inteso male quello che cè scritto lì, oppure è proprio sbagliato?
Domanda 2: Perche devo specificare "semiasse positivo delle ascisse"? L'angolo la retta lo può formare anche con il semiasse negativo delle ascisse.. l'angolo rimane quello! Dove sbaglio?
Domanda 3: va bene quello che ho aggiunto sopra?
Grazie, scusa ma adesso mi sorbisci xD Scherzo!
Inoltre mi hai fatto notare che posso ben inserire il concetto di posizione reciproca di rette grazie al coefficente angolare:
il coefficente angolare è utile anche nello studio della posizione reciproca di due rette. In generale si può dire che per fare ciò bisogna mettere a sistema le due equazioni delle due rette e a seconda se il sistema è determinato, indeterminato, impossibile dedurre ripettivamente l'incidenza,la coincidenza,o il parallelismo tra le due rette. Si nota che: il sistema è impossibile solo nel caso in cui le rette hanno stesso coefficente angolare( e giacciono sullo stesso piano ovviamente ); quando il sistema è determinato e le due rette hanno coefficenti angolare tali che $m_1m_2=-1$ ossia sono antireciproci, le due rette sono perpendicolari.
Domanda 1: Per quanto riguarda la definizione di euclide, l'ho trovata su wikipedia : http://it.wikipedia.org/wiki/Retta
Forse ho inteso male quello che cè scritto lì, oppure è proprio sbagliato?
Domanda 2: Perche devo specificare "semiasse positivo delle ascisse"? L'angolo la retta lo può formare anche con il semiasse negativo delle ascisse.. l'angolo rimane quello! Dove sbaglio?
Domanda 3: va bene quello che ho aggiunto sopra?
Grazie, scusa ma adesso mi sorbisci xD Scherzo!
"_Matteo_C":
Grazie mille Wizard.. Quindi secondo te dovrei specificare meglio la definizione di coefficente angolare come tangente trigonometrica (e non geometrica)dell'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse, che può essere calcolata come il rapporto tra la differenza delle ordinate di due punti $x_1$,$x_2$ appartenenti alla retta e la differenza delle corrispettive ascisse dei suddetti punti.
Di solito con [tex]x_{1},x_{2}[/tex] si indicano le ascisse dei punti del piano cartesiano: quindi io parlerei di due punti [tex]A,B[/tex] della retta, rispettivamente di coordinate [tex](x_{1};y_{1})[/tex] e [tex](x_{2};y_{2})[/tex].
"_Matteo_C":
Come la tangente trigonometrica non è definita per l'angolo retto, perchè sarebbe un rapporto con denominatore nullo, così il coefficente angolare di una retta parallela all'asse y, che forma quindi 90 gradi con il semiasse positivo delle ascisse, non può essere definito.
La tengente trigonometrica è definita come rapporto tra seno e coseno di un angolo: per gli angoli di 90° e 270° il coseno vale 0, quindi il rapportro tra seno e coseno è senza senso; il coefficiente angolare è la tangente trigonometrica dell'angolo formato col semiasse positivo delle ascisse, dunque per un agolo di 90° non esiste, perché non esiste la tangente trigonometrica. Tuttavia, il limite cui tende il valore della tangente trigonometrica al tendere del valore dell'angolo ai 90° è [tex]+\infty[/tex] ed il limite cui tende il valore della tangente trigonometrica al tendere del valore dell'angolo ai 270° è [tex]-\infty[/tex], quindi si conviende di dire che il coefficiente angolare delle rette parallele all'asse delle ordinate è [tex]\infty[/tex].
"_Matteo_C":
Inoltre mi hai fatto notare che posso ben inserire il concetto di posizione reciproca di rette grazie al coefficente angolare:
il coefficente angolare è utile anche nello studio della posizione reciproca di due rette. In generale si può dire che per fare ciò bisogna mettere a sistema le due equazioni delle due rette e a seconda se il sistema è determinato, indeterminato, impossibile dedurre ripettivamente l'incidenza,la coincidenza,o il parallelismo tra le due rette. Si nota che: il sistema è impossibile solo nel caso in cui le rette hanno stesso coefficente angolare( e giacciono sullo stesso piano ovviamente ); quando il sistema è determinato e le due rette hanno coefficenti angolare tali che $m_1m_2=-1$ ossia sono antireciproci, le due rette sono perpendicolari.
Un poco disordinato: due rette sono parallele se sono coincidenti oppure se non si intersecano mai; sono incidenti se si incontrano in un punto e sono perpendicolari se essendo incidenti formano quattro angoli retti. Due rette parallele perché prive di punti in comune hanno lo stesso coefficiente angolare nelle proprie equazioni rappresentative e diverso termine noto; due rette parallele perché coincidenti hanno esattamente la stessa equazione rappresentativa, quindi lo stesso coefficiente angolare e lo stesso termine noto; due rette incidenti hanno nelle proprie equazioni rappresentative diversi coefficienti angolari (eventualemnte il termine noto può essere lo stesso: in tal caso si intersecano nella propria ordinata all'origine): se i coefficienti angolari sono tali per cui il loro prodotto fa [tex]-1[/tex], allora le rette sono incidenti perpendicolarmente o, più semplicemente, perpendicolari.
"_Matteo_C":
Domanda 1: Per quanto riguarda la definizione di euclide, l'ho trovata su wikipedia : http://it.wikipedia.org/wiki/Retta
Forse ho inteso male quello che cè scritto lì, oppure è proprio sbagliato?
Domanda 2: Perche devo specificare "semiasse positivo delle ascisse"? L'angolo la retta lo può formare anche con il semiasse negativo delle ascisse.. l'angolo rimane quello! Dove sbaglio?
Domanda 3: va bene quello che ho aggiunto sopra?
Grazie, scusa ma adesso mi sorbisci xD Scherzo!
Quella non è una definizione: cos'è una "dimensione", cos'è una "lunghezza", cos'è uno "spessore"? Non puoi definire una cosa con ciò che viene definito dopo la cosa ed utilizzando la cosa: una lunghezza è una classe di equivalenza di segmenti congruenti ed i segmenti sono parti dei rette.
Devi specificare il semiasse perché in goniometria gli angoli hanno un verso, sono cioè orientati: prendi l'orologio e vedi che ore sono; a meno che non siano le 12.30, l'orologio è diviso in due angoli, uno concavo ed uno convesso: ciascuno può essere descritto o muovendo la lancetta delle ore su quella dei minuti o muovendo la lancette dei minuti su quella delle ore, quindi ciascun angolo ha un orientamento. Allo stesso modo, se una retta interseca l'asse delle ascisse, devi considerare gli angoli come orientati e segnatamente dei considerare un angolo piano ottenuto dal movimento del semiasse positivo delle ascisse con origine nel punto di intersezione verso la retta.
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