Coniche
Salve facendo questo esercizio ho trovato delle difficoltà, in particolare nell'ultimo punto L'esercizio è il seguente.
Determina per quali valori d k l'equazione $ x^2/(k^2-3k)-y^2/(k^2-9)=1 $ rappresenta:
a. un'ellisse o una circonferenza ( ho posto $ k^2-3k>0 $ e $ k^2-9<0 $ per l'ellisse e $ k^2-3k=-k^2+9 $ per la circonferenza)
b. un'iperbole con i fuochi sull'asse x o sull'asse y ( per il primo ho posto $ k^2-3k>0 $ e $ k^2-9>0 $ mentre per il secondo $ k^2-3k<0 $ e $ k^2-9<0 $)
c. un'iperbole equilatera ($ k^2-3k=k^2-9 $)
d. un'iperbole con un fuoco in (0; $ sqrt(10) $ ) ( questo ho provato a fare $ a^2+b^2=10 $ ma non mi trovo)
Grazie in anticipo.
Determina per quali valori d k l'equazione $ x^2/(k^2-3k)-y^2/(k^2-9)=1 $ rappresenta:
a. un'ellisse o una circonferenza ( ho posto $ k^2-3k>0 $ e $ k^2-9<0 $ per l'ellisse e $ k^2-3k=-k^2+9 $ per la circonferenza)
b. un'iperbole con i fuochi sull'asse x o sull'asse y ( per il primo ho posto $ k^2-3k>0 $ e $ k^2-9>0 $ mentre per il secondo $ k^2-3k<0 $ e $ k^2-9<0 $)
c. un'iperbole equilatera ($ k^2-3k=k^2-9 $)
d. un'iperbole con un fuoco in (0; $ sqrt(10) $ ) ( questo ho provato a fare $ a^2+b^2=10 $ ma non mi trovo)
Grazie in anticipo.
Risposte
Poi non ho capito bene neanche questo esercizio:
Considera P, punto qualsiasi dell'iperbole di equazione xy=2, e il suo simmetrico Q rispetto all'origine. Scrivi le equazioni delle tangenti t1 e t2 in P e in Q e verifica che l'area del quadrilatero che ha per vertici i punti di intersezione di t1 e t2 cono gli assi cartesiani è costante.
Considera P, punto qualsiasi dell'iperbole di equazione xy=2, e il suo simmetrico Q rispetto all'origine. Scrivi le equazioni delle tangenti t1 e t2 in P e in Q e verifica che l'area del quadrilatero che ha per vertici i punti di intersezione di t1 e t2 cono gli assi cartesiani è costante.
Ciao, nell'ultimo punto, imponendo il fuoco appartenente all'asse y devi pensare all'equazione dell'iperbole con fuochi sulll'asse y cioè:
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = -1$
devi rimaneggiare un po' l'equazione data dal testo in questo modo:
$- \frac{x^2}{-k^2 + 3k} + \frac{y^2}{-k^2 + 9} =1$
cioè, cambiando moltiplicando per -1 nei due membri:
$ \frac{x^2}{-k^2 + 3k} - \frac{y^2}{-k^2 + 9} =- 1$
A questo punto imponi che $y_{fuoco} ^2 = a^2 + b^2$ => $3k-k^2 +9 - k^2=10$... risolvendo ti trovi $k=1,1/2$.. la soluzione è quella che soddisfa la condizione $b^2>a^2$
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = -1$
devi rimaneggiare un po' l'equazione data dal testo in questo modo:
$- \frac{x^2}{-k^2 + 3k} + \frac{y^2}{-k^2 + 9} =1$
cioè, cambiando moltiplicando per -1 nei due membri:
$ \frac{x^2}{-k^2 + 3k} - \frac{y^2}{-k^2 + 9} =- 1$
A questo punto imponi che $y_{fuoco} ^2 = a^2 + b^2$ => $3k-k^2 +9 - k^2=10$... risolvendo ti trovi $k=1,1/2$.. la soluzione è quella che soddisfa la condizione $b^2>a^2$
Per il problema del secondo messaggio.
Devi prendere un punto generico P sull'iperbole, quindi poni una ascissa generica, e ti ricavi l'ordinata sostituendo nell'equazione dell'iperbole.
$P(a, 2/a)$
Il punto Q è il simmetrico di P rispetto all'origine, quindi $Q(-a, -2/a)$
Per trovare le equazioni delle tangenti puoi procedere con il solito metodo: fascio di rette per P, sistema con l'iperbole e $Delta=0$, oppure se le conosci puoi usare le formule di sdoppiamento $xy->(x_0y+xy_0)/2$
In ogni caso le due tangenti vengono $a^2y+2x=4a$ e $-a^2y-2x=4a$ che intersecherai con gli assi cartesiani. Siccome i punti sono simmetrici devi ottenere un rombo di cui puoi calcolare con facilità le diagonali e poi l'area, che non dipenderà da $a$ e che, quindi, è costante indipendentemente dal punto P scelto.
Devi prendere un punto generico P sull'iperbole, quindi poni una ascissa generica, e ti ricavi l'ordinata sostituendo nell'equazione dell'iperbole.
$P(a, 2/a)$
Il punto Q è il simmetrico di P rispetto all'origine, quindi $Q(-a, -2/a)$
Per trovare le equazioni delle tangenti puoi procedere con il solito metodo: fascio di rette per P, sistema con l'iperbole e $Delta=0$, oppure se le conosci puoi usare le formule di sdoppiamento $xy->(x_0y+xy_0)/2$
In ogni caso le due tangenti vengono $a^2y+2x=4a$ e $-a^2y-2x=4a$ che intersecherai con gli assi cartesiani. Siccome i punti sono simmetrici devi ottenere un rombo di cui puoi calcolare con facilità le diagonali e poi l'area, che non dipenderà da $a$ e che, quindi, è costante indipendentemente dal punto P scelto.
Grazie mille ad entrambi. Sono riuscito a risolvere entrambi i problema senza alcuna difficoltà grazie alle vostre spiegazioni.
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