Congruenza angoli: dubbio

silente1 · 2008-03-02CET14:39:00+01:00

"Il miei dubbi riguardano il seguente\r\nTEOREMA: Se due angoli sono supplementari allo stesso angolo allora sono congruenti.\r\n\r\nQuesto teorema sul mio libro non viene dimostrato, come credo si faccia di solito, osservando che i due angoli sono differenze fra angoli ordinatamente congruenti ma in un modo che mi era parso pi\u00f9 elegante.\r\nRimeditando la questione purtroppo non riesco a convincermi della bont\u00e0 di questa dimostrazione e vi chiedo un parere a riguardo.\r\n\r\nQualche premessa:\r\nSi generalizza la definizione di angoli supplementari con la seguente\r\nDEFINIZIONE: due angoli sono detti supplementari quando la somma di due angoli ad essi congruenti e tra loro consecutivi \u00e8 l\u2019angolo piatto.\r\n\r\nEcco la questione:\r\nIpotesi: \r\n$p\\hat Bq$ supplementare $r\\hat Es$\r\n$t\\hat Hu$ supplementare $r\\hat Es$\r\nTesi:\r\n$p\\hat Bq$ = $t\\hat Hh$\r\n\r\n\r\nDimostrazione:\r\n\r\ni)Sia $s\\hat Ew$ un angolo che forma con $r\\hat Es$ un angolo piatto.\r\n\r\n\r\nii)$p\\hat Bq$ = $s\\hat Ew$ per la definizione di angoli supplementari, per l\u2019assioma 7a (la relazione di congruenza \u00e8 una relazione di equivalenza) e per l\u2019assioma 7c (assioma del trasporto dell\u2019angolo)\r\niii)$t\\hat Hu$ = $s\\hat Ew$ per assiomi 7a e 7c\r\niv)$p\\hat Bq$ = $t\\hat Hu$ per i) e ii) e per l\u2019assioma 7a (transitivit\u00e0 della rel. di congruenza)\r\n\r\nCredo che i passaggi di cui si compone la dimostrazione siano corretti e li condivido. Il mio dissenso riguarda il fatto che le ipotesi assunte nella dimostrazione non coincidono con l\u2019ipotesi del teorema.\r\nCerco di spiegarmi: nelle ipotesi si assume che l\u2019angolo consecutivo abbia per lato la semiretta s. Questo limita la portata del teorema. Tale limitazione non consente di poter ritenere nei punti ii) e iii) della dimostrazione che gli angoli dati $p\\hat Bq$ e $t\\hat Hu$ siano congruenti ad uno stesso angolo (la congruenza potrebbe riferirsi all\u2019angolo apposto al vertice. Sarebbe vero se esistesse un solo angolo consecutivo e adiacente ad un altro angolo).\r\nQuesto impedisce di applicare nel punto iv) della dimostrazione la propriet\u00e0 transitiva.\r\nVorrei sapere se secondo voi invece \u00e8 giusta o se qualcosa, magari taciuto per l'evidenza, mi sfugge.\r\n\r\nP.s. La dimostrazione della congruenza degli angoli opposti al vertice viene proposta come conseguenza di questo teorema (almeno nel mio testo) quindi non la posso assumere per dimostrare questo.\r\n\r\nGrazie"

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silente1

2 mar 2008, 14:39

Il miei dubbi riguardano il seguente
TEOREMA: Se due angoli sono supplementari allo stesso angolo allora sono congruenti.

Questo teorema sul mio libro non viene dimostrato, come credo si faccia di solito, osservando che i due angoli sono differenze fra angoli ordinatamente congruenti ma in un modo che mi era parso più elegante.
Rimeditando la questione purtroppo non riesco a convincermi della bontà di questa dimostrazione e vi chiedo un parere a riguardo.

Qualche premessa:
Si generalizza la definizione di angoli supplementari con la seguente
DEFINIZIONE: due angoli sono detti supplementari quando la somma di due angoli ad essi congruenti e tra loro consecutivi è l’angolo piatto.

Ecco la questione:
Ipotesi:
$p\hat Bq$ supplementare $r\hat Es$
$t\hat Hu$ supplementare $r\hat Es$
Tesi:
$p\hat Bq$ = $t\hat Hh$

Dimostrazione:

i)Sia $s\hat Ew$ un angolo che forma con $r\hat Es$ un angolo piatto.

ii)$p\hat Bq$ = $s\hat Ew$ per la definizione di angoli supplementari, per l’assioma 7a (la relazione di congruenza è una relazione di equivalenza) e per l’assioma 7c (assioma del trasporto dell’angolo)
iii)$t\hat Hu$ = $s\hat Ew$ per assiomi 7a e 7c
iv)$p\hat Bq$ = $t\hat Hu$ per i) e ii) e per l’assioma 7a (transitività della rel. di congruenza)

Credo che i passaggi di cui si compone la dimostrazione siano corretti e li condivido. Il mio dissenso riguarda il fatto che le ipotesi assunte nella dimostrazione non coincidono con l’ipotesi del teorema.
Cerco di spiegarmi: nelle ipotesi si assume che l’angolo consecutivo abbia per lato la semiretta s. Questo limita la portata del teorema. Tale limitazione non consente di poter ritenere nei punti ii) e iii) della dimostrazione che gli angoli dati $p\hat Bq$ e $t\hat Hu$ siano congruenti ad uno stesso angolo (la congruenza potrebbe riferirsi all’angolo apposto al vertice. Sarebbe vero se esistesse un solo angolo consecutivo e adiacente ad un altro angolo).
Questo impedisce di applicare nel punto iv) della dimostrazione la proprietà transitiva.
Vorrei sapere se secondo voi invece è giusta o se qualcosa, magari taciuto per l'evidenza, mi sfugge.

P.s. La dimostrazione della congruenza degli angoli opposti al vertice viene proposta come conseguenza di questo teorema (almeno nel mio testo) quindi non la posso assumere per dimostrare questo.

Grazie