Confronto tra equazioni di enti geometrici

[BayMax1]

Buonasera a tutti. Premetto di aver cercato sul forum, ma di non aver trovato una risposta alla mia domanda, pertanto mi rivolgo a voi per chiarire un dubbio che mi attanaglia. Nell'aiutare alcuni ragazzi dello scientifico con esercizi di matematica, mi sono imbattuto nel confronto tra equazioni di enti geometrici che va svolto confrontando i coefficienti dei medesimi termini. Ora, effettuando qualche passaggio matematico che a me pare lecito, tale confronto a volte risulta impossibile. Eccone un esempio tratto da un esercizio: scrivi l’equazione dell’iperbole con i fuochi sull’asse y che nel suo punto di coordinate $ (2; sqrt(5)/2) $ ha per tangente la retta di equazione $ r: x-4sqrt(5)y+8=0 $. L'esercizio può essere risolto sia imponendo la condizione di tangenza $ Delta = 0 $ che, più rapidamente, con le formule di sdoppiamento. Ho risolto l'esercizio in entrambi i modi ed il risultato torna. Il mio dubbio, tuttavia, è il seguente: usando le formule di sdoppiamento vado a scrivere $ s: (2x)/a^2-(sqrt(5)y)/(2b^2)+1=0 $ che è la retta tangente all'iperbole nel punto $ (2; sqrt(5)/2) $, ma, dovendo essere tale retta uguale a $ r: x-4sqrt(5)y+8=0 $, vado a confrontare i vari termini dopo aver moltiplicato per 8 la prima retta ottenendo $ s_2: (16x)/a^2-(4sqrt(5)y)/(b^2)+8=0 $ ed arrivando a scrivere $ { ( 1=16/a^2 ),( -4sqrt(5)=(-4sqrt(5))/b^2 ):} $; risolvendo ottengo
$ a^2=16 $ e $ b^2=1 $ giungendo all'iperbole cercata $ gamma: x^2/16-y^2=-1 $. Il mio dubbio è il seguente: perché, se andassi a fare il MCD nella $ s $ o anche nella $ s' $ ottenendo, ad esempio, $ s_2': (16b^2x-4sqrt(5)ya^2+8a^2b^2)/(a^2b^2)=0 $ $ rarr $ $ s_3: 16b^2x-4sqrt(5)ya^2+8a^2b^2 = 0 $ e poi procedessi al confronto tra termini della $ s_3 $ e della $ r $ arriverei a qualcosa di diverso ed impossibile del tipo: $ { ( 16b^2=1 ),( -4sqrt(5)a^2=-4sqrt(5) ),( 8a^2b^2=8 ):} $ ? Dov'è l'errore in quest'ultimo ragionamento ? Lo stesso accade quando devo confrontare curve base e trasformate in una trasformazione geometrica.
Chiedo scusa se sono stato eccessivamente prolisso e ringrazio sin d'ora quanti chiariranno il mio dubbio.

[@melia]

Sai bene che se prendi l'equazione di una retta in forma implicita $ax+by+c=0$ e la moltiplichi per un qualsiasi numero diverso da zero ottieni l'equazione della stessa retta per il secondo principio di equivalenza delle equazioni. Usando le rette in forma implicita, quindi, non è possibile effettuare un confronto diretto dei coefficienti.
Se scrivi la retta in forma esplicita $y=mx+q$, non solo $m$ e $q$ hanno un preciso significato, ma anche se ti venisse la voglia di applicare il secondo principio non potresti farlo perché il coefficiente della $y$ non sarebbe più $1$ e la retta non sarebbe scritta in forma esplicita.
Nel problema la retta $ r: x-4sqrt(5)y+8=0 $ dovrebbe prima essere portata in forma esplicita $y=1/(4sqrt5)x+2/(sqrt5)$ e allo stesso modo dovrà essere portata in forma esplicita $ s: (2x)/a^2-(sqrt(5)y)/(2b^2)+1=0 $ da cui si ottiene $y=(4b^2)/(sqrt5 a^2)x+(2b^2)/(sqrt5)$ adesso puoi eguagliare i coefficienti angolari e i termini noti.
Nell'esercizio hai ovviato al problema imponendo che i termini noti valessero entrambi 8 e uguagliando poi i coefficienti di $x$ e $y$, l'esercizio come hai constatato viene lo stesso. Ma per poter uguagliare due coefficienti hai bisogno necessariamente che il terzo sia identico nelle due equazioni.

[BayMax1]

Grazie mille @melia. Ora mi è più chiaro il motivo per cui una strada risulti percorribile ed un'altra invece no. Un saluto.