Confronto grafico per gli zeri di una f(x) - analisi

[jitter1]

Accidenti, stasera sono iperattiva sul forum! Ancora una cosa...

Ho questa disequazione: $x^2 + 2x > -e^(-2x)$.

La soluzione guidata dice: "dal confronto grafico delle funzioni $x^2 + 2x$ e $-e^(-2x)$ si deduce che la disequazione è sempre verificata".
Quando si parla di confronto grafico, provo parallelamente a scrivere un metodo "formale", un calcolo, altrimenti non vale. Ma in questo caso? A parte "guardare" il piano cartesiano, non mi viene in mente nulla... Non chiedo cosa si intende per metodo grafico perché sicuramente è troppo generico e dipende dai casi, significa tante cose, ma se potete darmi una mano su questo esempio, grazie!

[piero_1]

Traccia un grafico delle due funzioni:
\(\displaystyle y=x^2+2x\)
\(\displaystyle y=-{{e}}^{{-{2}{x}}}\)
la prima è una parabola che interseca l'asse x nei punti (0,0) e (-2,0) con vertice in (-1,-1).
per la seconda funzione puoi tracciare un grafico qualitativo osservando che è sempre negativa, interseca l'asse delle ordinate in (0,-1) e ha un asintoto orizzontale (asse delle ascisse); inoltre va a $- infty$ per x che tende a $- infty$.
La parabola sta sempre sopra all'altra funzione, dunque è sempre maggiore.

[asvg]axes();
strokewidth="3";
plot("x^2+2x");
stroke="blue";strokewidth="3";
plot("-(2.718)^(-2x)");[/asvg]

[jitter1]

Sei gentilissimo Piero, hai tracciato pure il grafico!
Qui dici: "la parabola sta sempre sopra l'altra funzione".
1) Per x > 0 questo segue dal fatto che una funzione è positiva, l'altra negativa
2) Per x < 0, da dove si deduce che la parabola sta "sopra", a parte che "si vede"?
Forse devo usare il vertice ($v, y(v)$) della parabola come punto di minimo, e verificare che è maggiore del valore corrispondente sull'altra curva:
$ v = -1; y(v) = - 1$
$x^2 + 2x = - 1$ > $- e^2$

Ma la $e^(-2x)$ è decrescente, e quindi non può incontrare la parabola. Ma per l'intervallo [$v, 0$], come si ricava che la funzione rappresentata dalla parabola è maggiore?

[piero_1]

"jitter":Ma la $e^(-2x)$ è decrescente, e quindi non può incontrare la parabola.

stiamo occupandoci di questa funzione
\( \displaystyle z(x)=-e^{-2x}\) che è crescente.

"jitter":2) Per x < 0, da dove si deduce che la parabola sta "sopra", a parte che "si vede"?
[...]Ma per l'intervallo [$v, 0$], come si ricava che la funzione rappresentata dalla parabola è maggiore?

Nell'intervallo $[-1;0]$ vale il teorema di Weierstrass, inoltre le due funzioni sono monotone crescenti in tale intervallo; allora ciascuna delle due raggiunge il minimo nell'estremo sinistro e il massimo nel destro.
Cosa succede alle due funzioni all'interno del nostro intervallo?

Per la parabola abbiamo:
\( \displaystyle -1<(x^2+2x)<0\)
e dunque
\( \displaystyle -1
Per l'esponenziale:
\( \displaystyle -e^2<(-e^{-2x})<-1\)
e dunque
\( \displaystyle -e^2

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[jitter1]

Chiarissimo Piero, grazie ancora!